Modélisation cinématique des systèmes mécaniques

Modéliser un mécanisme, c'est passer d'un plan d'ensemble à un schéma cinématique exploitable par le calcul. L'objectif final est presque toujours une loi entrée-sortie : comment la sortie (position, vitesse) dépend de l'entrée imposée par l'actionneur. La démarche est toujours la même et doit être rédigée dans l'ordre.

Classes d'équivalence cinématique

On regroupe les pièces sans mouvement relatif en classes d'équivalence, chacune modélisée par un solide indéformable. Le bâti est noté 0. Les éléments déformables (ressorts, joints) et les éléments roulants des roulements sont exclus.

Les 11 liaisons normalisées

Une liaison est caractérisée par sa géométrie de contact et ses degrés de liberté (ddl). Une liaison parfaite est sans jeu ni frottement.

> **Piège :** la colonne « validité » compte autant que la forme. Une rotule n'a un moment nul **qu'en son centre** ; une glissière ou un appui plan gardent leur forme en tout point.

Le graphe des liaisons a pour sommets les classes d'équivalence et pour arcs les liaisons (nom + centre/axe/normale). Le nombre cyclomatique $\gamma =L-N+1$ donne le nombre de boucles indépendantes. Le schéma cinématique traduit ce graphe en symboles normalisés, en respectant la géométrie relative (axes parallèles, concourants, perpendiculaires). Le schéma minimal sert à comprendre le fonctionnement ; le schéma architectural sert à analyser l'hyperstatisme et le montage.

$\{{\mathcal{V}}_{2/1}\}=\{{\vec{\Omega }}_{2/1};{\vec{V}}_{A,2/1}{\}}_A$. Le vecteur rotation est le même en tout point ; la vitesse se transporte par

${\vec{V}}_{B,2/1}={\vec{V}}_{A,2/1}+\overrightarrow{BA}\wedge {\vec{\Omega }}_{2/1}$.

Conséquence : équiprojectivité, ${\vec{V}}_A\cdot \overrightarrow{AB}={\vec{V}}_B\cdot \overrightarrow{AB}$.

Paramétrage et dérivation

Chaque solide reçoit un repère ; les figures de changement de base (angle petit et positif) donnent les projections. Si $\theta =({\vec{x}}_1,{\vec{x}}_2)$ autour de $\vec{z}$, ${\vec{\Omega }}_{2/1}=\dot{\theta }\vec{z}$. Pour un point $P$ de 2 et $O$ fixe dans 1 : ${\vec{V}}_{P,2/1}={\frac{d\overrightarrow{OP}}{dt}|}_{R_1}$, avec la formule de dérivation vectorielle ${\frac{d\vec{u}}{dt}|}_{R_1}={\frac{d\vec{u}}{dt}|}_{R_2}+{\vec{\Omega }}_{2/1}\wedge \vec{u}$.

Pour trois solides : $\{{\mathcal{V}}_{3/1}\}=\{{\mathcal{V}}_{3/2}\}+\{{\mathcal{V}}_{2/1}\}$, torseurs au même point. En particulier ${\vec{\Omega }}_{3/1}={\vec{\Omega }}_{3/2}+{\vec{\Omega }}_{2/1}$ et $\{{\mathcal{V}}_{1/2}\}=-\{{\mathcal{V}}_{2/1}\}$. C'est l'outil de base pour traiter les chaînes de solides et les robots sériels.

Roulement sans glissement

Au point de contact $I$ : ${\vec{V}}_{I,2/1}=\vec{0}$. Exemples incontournables :

• roue sur sol : $v=R\omega$ (roue de 0,30 m à 10 m/s : $\omega \approx 33,3$ rad/s) ;
• engrenage extérieur : $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=-\frac{Z_1}{Z_2}$ (signe + pour un engrenage intérieur) ;
• train simple : $(-1{)}^n\frac{\prod Z_{\text{menantes}}}{\prod Z_{\text{meneˊes}}}$ ;
• vis-écrou (pas $p$) : $V=\frac{p}{2\pi }\omega$ ; 2 mm de pas à 1 500 tr/min donnent 50 mm/s.

Centre instantané de rotation

En mouvement plan, le CIR $I$ vérifie ${\vec{V}}_I=\vec{0}$ ; il est à l'intersection des perpendiculaires aux vitesses de deux points.

Fermeture géométrique

On écrit Chasles sur la boucle, on projette, puis on élimine les paramètres inutiles. Pour le bielle-manivelle centré ($OA=R$, $AB=L$) :

$x=R\cos \theta +\sqrt{L^2-R^2{\sin }^2\theta }$, course $2R$.

La loi en vitesse s'obtient en dérivant par rapport au temps.

Fermeture cinématique

$\{{\mathcal{V}}_{1/0}\}+\{{\mathcal{V}}_{2/1}\}+\cdots +\{{\mathcal{V}}_{0/n}\}=\{0\}$ au même point : 6 équations scalaires par boucle (3 en plan). On obtient directement une loi en vitesse, sans dériver.

Avec $N_c$ inconnues cinématiques, $E_c=6\gamma$ équations de rang $r_c$ :

• mobilité $m=N_c-r_c$ (utiles + internes, comme la rotation d'une bielle sur son axe entre deux rotules) ;
• hyperstatisme $h=E_c-r_c=m-N_c+6\gamma$.

Liaisons en série : on additionne les torseurs cinématiques. Liaisons en parallèle : le mouvement doit être compatible avec chacune. Une rotule de centre $A$ associée à une sphère-cylindre de centre $B$ et d'axe $(AB)$ forme une pivot d'axe $(AB)$ isostatique : c'est le montage de base d'un arbre sur deux roulements.

1. 1Classes d'équivalence (couleurs), puis graphe des liaisons avec caractéristiques géométriques.
2. 2Schéma cinématique cohérent avec le graphe.
3. 3Paramétrage : repères, figures de changement de base.
4. 4Fermeture géométrique ou cinématique, projection, élimination.
5. 5Vérification : homogénéité, cas particuliers ($\theta =0$, $\theta =\pi$), signe du rapport de transmission.