SLCI et asservissements

Un asservissement compare en permanence la sortie mesurée à la consigne et corrige l'écart. Pour prévoir ses performances, on modélise chaque constituant par un SLCI : une équation différentielle linéaire à coefficients constants, que la transformée de Laplace transforme en fraction rationnelle. Les trois performances attendues sont la stabilité, la précision et la rapidité.

Pour un signal causal, $F(p)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt$. Propriétés utiles (conditions initiales nulles, hypothèse d'Heaviside) :

> **Piège :** le théorème de la valeur finale n'a de sens que pour un système stable ; appliqué à un système instable, il donne une valeur fausse.

La fonction de transfert est $H(p)=S(p)/E(p)$, fraction rationnelle dont les racines du dénominateur sont les pôles. Forme canonique $H(p)=\frac{K}{p^{\alpha }}\cdot \frac{1+\dots }{1+\dots }$ : $K$ gain statique, $\alpha$ classe (nombre d'intégrations), ordre = degré du dénominateur.

Règles d'algèbre des blocs : série $H_1{H}_2$, parallèle $H_1+H_2$, et pour une boucle de chaîne directe $D$ et de retour $R$ (formule de Black) :

$H_{BF}(p)=\frac{D(p)}{1+D(p)R(p)}$, avec $FTBO=DR$.

Une perturbation est traitée par superposition : on calcule séparément la transmittance consigne → sortie et perturbation → sortie en annulant l'autre entrée.

$H(p)=\frac{K}{1+\tau p}$. Réponse à l'échelon $E_0$ : $s(t)=K{E}_0(1-e^{-t/\tau })$, tangente à l'origine de pente $K{E}_0/\tau$, 63 % de la valeur finale à $t=\tau$, temps de réponse à 5 % égal à $3\tau$. Bode : gain $20\log K$ puis $-20$ dB/décade après ${\omega }_c=1/\tau$ ($-3$ dB réels à ${\omega }_c$) ; phase de 0 à $-90°$, $-45°$ à ${\omega }_c$.