Statique des solides et hyperstatisme

La statique répond à deux questions d'ingénieur : quels efforts transitent dans les liaisons (pour dimensionner les pièces, choisir des roulements, des vérins, des moteurs) et le mécanisme est-il correctement conçu (isostatique ou hyperstatique). Elle repose sur un seul principe, le PFS, mais exige une méthode rigoureuse.

Toute action mécanique de 1 sur 2 se modélise par un torseur :

$\{{\mathcal{T}}_{1\to 2}\}=\{{\vec{R}}_{1\to 2};{\vec{M}}_{A,1\to 2}{\}}_A$, avec ${\vec{M}}_B={\vec{M}}_A+\overrightarrow{BA}\wedge \vec{R}$.

• Glisseur : moment nul sur un axe (une force). Moment d'une force $\vec{F}$ appliquée en $P$ : $\overrightarrow{AP}\wedge \vec{F}$, de norme $F\times d$ en plan.
• Couple : résultante nulle, moment identique en tout point.
• Pesanteur : $\{-mg\vec{z};\vec{0}{\}}_G$.
• Pression uniforme sur une surface plane : glisseur de norme $pS$ normal à la surface. Un vérin de 50 mm de diamètre sous 6 bar pousse avec environ 1 180 N (1 bar = $10^5$ Pa).

Une liaison parfaite ne dissipe aucune puissance : le comoment de son torseur statique et de son torseur cinématique est nul. Chaque degré de liberté supprime une composante statique : une liaison à $n$ ddl transmet $6-n$ inconnues.

> **Astuce :** le torseur statique est le « négatif » du torseur cinématique : là où une composante cinématique est libre, la composante statique correspondante est nulle, et réciproquement.

Énoncé : si un ensemble $E$ est en équilibre dans un référentiel galiléen, $\{{\mathcal{T}}_{\bar{E}\to E}\}=\{0\}$. Il fournit 6 équations scalaires dans l'espace, 3 en problème plan.

Actions réciproques : $\{{\mathcal{T}}_{2\to 1}\}=-\{{\mathcal{T}}_{1\to 2}\}$.

Démarche type

1. 1Tracer le graphe d'analyse : liaisons et actions extérieures (moteur, charge, pesanteur, ressorts).
2. 2Isoler un solide ou un ensemble ; faire le bilan des actions mécaniques extérieures.
3. 3Écrire chaque torseur sous sa forme canonique, au point où elle est valable.
4. 4Transporter les moments au point choisi, où passent le plus d'inconnues.
5. 5Résoudre, puis passer à l'isolement suivant.

Cas particuliers à reconnaître

• Deux glisseurs : forces directement opposées (bielle de poids négligeable).
• Trois glisseurs non parallèles : coplanaires, concourants, triangle des forces fermé.

Exemple : poutre sur deux appuis

Charge $F=600$ N à $a=0,5$ m de $A$, portée $L=2$ m. Moment en $A$ : $2R_B=600\times 0,5$, donc $R_B=150$ N ; résultante : $R_A=450$ N.

Ordre des isolements

On commence par les solides soumis à deux actions, qui fixent une direction, puis on remonte la chaîne de transmission. Une équation sans inconnue de liaison (moment autour de l'axe d'une pivot) donne la loi entrée-sortie en efforts ; pour un vis-écrou parfait, $C=\frac{p}{2\pi }F$, cohérent avec $C\omega =FV$.

Au contact, l'action se décompose en $N$ (normale) et $\vec{T}$ (tangentielle).

Le **cône de frottement** a pour demi-angle $\phi =\arctan f$ : l'action est dans le cône en adhérence, sur le cône en glissement.

Plan incliné : l'équilibre exige $\tan \alpha \le f_0$, indépendamment de la masse. Avec $f_0=0,3$, un bloc tient à 15° mais glisse à 20°.

Arc-boutement : blocage par adhérence quelle que soit l'intensité de l'effort moteur, pour une raison géométrique (tiroir, serre-joint). Un vis-écrou est irréversible si l'angle d'hélice est inférieur à l'angle de frottement.

La puissance dissipée par frottement $P=-fN\Vert {\vec{V}}_g\Vert$ est négative : elle explique le rendement inférieur à 1 des transmissions réelles.

Définitions

• $N_s$ : nombre total d'inconnues statiques ; $p$ : nombre de classes d'équivalence, bâti compris.
• Mobilité $m$ : nombre de mouvements indépendants (utiles + internes).
• Degré d'hyperstatisme :

$h=m+N_s-6(p-1)$ ou, de façon équivalente, $h=m-N_c+6\gamma$.

Avec le rang $r_s$ du système issu du PFS : $h=N_s-r_s$ et $m=6(p-1)-r_s$. Si $h=0$, le mécanisme est isostatique ; si $h>0$, il est hyperstatique d'ordre $h$ : le PFS ne suffit plus à calculer toutes les actions de liaison.

Exemples classiques

### Interprétation

Chaque degré d'hyperstatisme correspond à une condition géométrique à respecter au montage (coaxialité, parallélisme, distance). L'hyperstatisme apporte rigidité et robustesse, mais impose des tolérances serrées et génère des contraintes de montage. On le réduit en remplaçant des liaisons par d'autres possédant plus de degrés de liberté, ou en introduisant des jeux et des éléments élastiques.

• Vérifier le référentiel galiléen et l'hypothèse d'équilibre (ou de mouvement uniforme négligeant l'inertie).
• Transporter les moments avant de sommer les torseurs.
• Ne pas compter deux fois une action intérieure.
• Justifier toute hypothèse de problème plan par une symétrie géométrique et des efforts.
• Un modèle plan peut masquer de l'hyperstatisme spatial.