Couples de VA et vecteurs aleatoires
Loi conjointe, lois marginales, covariance, indépendance de VA et loi conditionnelle.
Introduction
L'étude des couples de variables aléatoires permet de modéliser les dépendances entre deux phénomènes aléatoires. La covariance et l'indépendance sont des notions clés, directement liées aux problèmes de statistiques et aux sujets de concours.
Définitions essentielles
Définition : Loi conjointe — P(X = xᵢ, Y = yⱼ) pour toutes les valeurs (xᵢ, yⱼ). Le tableau à double entrée résume toute l'information.
Définition : Lois marginales — P(X = xᵢ) = Σⱼ P(X = xᵢ, Y = yⱼ) (somme en ligne). Idem pour Y (somme en colonne).
Définition : Covariance — Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)·E(Y).
Définition : Coefficient de corrélation — ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X)·σ(Y)), avec −1 ≤ ρ ≤ 1.
Définition : Indépendance de VA — X et Y sont indépendantes si P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ)·P(Y = yⱼ) pour tous i, j.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
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