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Mathématiquesmp2i9 min de lectureLecture libre

Dénombrement et probabilités sur un univers fini

Modèles de dénombrement (listes, arrangements, combinaisons), formule du binôme, probabilités sur un univers fini, conditionnement, probabilités totales et Bayes, indépendance, variables aléatoires, lois usuelles, espérance, variance et inégalités de concentration.

En MPSI, les probabilités se font sur un univers fini : tout se ramène à des sommes finies, et les difficultés sont surtout de modélisation (quel univers ? quelle loi ?) et de dénombrement.

📋

1. Dénombrement

Règles de base

Union disjointe : $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣$ ; en général $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .
Produit : $∣ A \times B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$ (principe multiplicatif : choix successifs indépendants).
Parties : $∣ P (E) ∣ = 2^{n}$ ; applications de $E$ (cardinal $p$ ) dans $F$ (cardinal $n$ ) : $n^{p}$ .

Les trois modèles de tirage

Tirage de $p$ parmi $n$	Ordre	Répétition	Nombre
$p$ -listes (avec remise)	oui	oui	$n^{p}$
Arrangements (sans remise)	oui	non	$A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
Combinaisons (simultané)	non	non	$(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

Les permutations de

n

éléments sont au nombre de

n!

. Les anagrammes d'un mot avec répétitions

n_{1}, \dots, n_{k}

\frac{n !}{n _{1} ! \dots n _{k} !}

Méthode : devant un problème de dénombrement, poser deux questions : l'ordre compte-t-il ? et peut-on répéter ? Puis décomposer en choix successifs (multiplier) ou en cas disjoints (additionner). Pour « au moins un », compter le complémentaire.

Coefficients binomiaux

Formules à connaître : symétrie $(p n) = (n - p n)$ ; triangle de Pascal $(p n) + (p + 1 n) = (p + 1 n + 1)$ ; formule du capitaine $p (p n) = n (p - 1 n - 1)$ ; Vandermonde $\sum_{k} (k m) (p - k n) = (p m + n)$ .

Formule du binôme. $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} b^{n - k}$ dès que $ab = ba$ . D'où $\sum_{k} (k n) = 2^{n}$ et $\sum_{k} (- 1)^{k} (k n) = 0$ ( $n \geq 1$ ).

Piège : une preuve combinatoire (compter deux fois le même ensemble) est souvent plus rapide qu'un calcul : $\sum_{k} (k n)^{2} = (n 2 n)$ se lit « choisir $n$ objets parmi $n$ rouges et $n$ bleus ».

📋

2. Probabilités sur un univers fini

Une probabilité sur $Ω$ fini est une application $P : P (Ω) \to [0, 1]$ avec $P (Ω) = 1$ , additive sur les événements disjoints. Elle est déterminée par les poids $P ({ω})$ . Propriétés : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ , croissance, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ , formule du crible pour plus d'événements.

Équiprobabilité : $P (A) = ∣ A ∣/∣Ω∣$ . Elle doit être justifiée par l'énoncé et impose de bien choisir $Ω$ (par exemple des tirages ordonnés pour garder l'équiprobabilité).

Conditionnement

Pour $P (B) > 0$ , $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ ; $P_{B}$ est une probabilité.

Probabilités composées : $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1})$ .
Probabilités totales : pour un système complet $(B_{i})$ , $P (A) = \sum_{i} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})$ .
Bayes : $P (B ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}$ .

Méthode : une expérience en plusieurs étapes se traite par un arbre : les probabilités composées multiplient le long d'une branche, les probabilités totales additionnent les branches menant à $A$ , Bayes remonte l'arbre.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Une famille est mutuellement indépendante si la formule produit vaut pour toute sous-famille ; c'est strictement plus fort que l'indépendance deux à deux.

Piège : indépendant ne veut pas dire incompatible. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

📋

3. Variables aléatoires

Une variable aléatoire est une application $X : Ω \to R$ . Sa loi est la famille des $P (X = x)$ , $x \in X (Ω)$ . Le couple $(X, Y)$ a une loi conjointe $P (X = x, Y = y)$ dont on tire les lois marginales par sommation ; $X$ et $Y$ sont indépendantes si la loi conjointe est le produit des marginales.

Lois usuelles

Loi	Valeurs	$P (X = k)$	$E (X)$	$V (X)$
Uniforme sur ${1, \dots, n}$	$1 \leq k \leq n$	$1/ n$	$\frac{n + 1}{2}$	$\frac{n ^{2} - 1}{12}$
Bernoulli $B (p)$	${0, 1}$	$p$ si $k = 1$	$p$	$p (1 - p)$
Binomiale $B (n, p)$	$0 \leq k \leq n$	$(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$	$n p$	$n p (1 - p)$

La binomiale compte les succès de

n

épreuves de Bernoulli **indépendantes** de même paramètre. Sans remise, ce n'est plus une binomiale.

Espérance et variance

$E (X) = \sum_{x} x P (X = x)$ . L'espérance est linéaire (sans aucune hypothèse d'indépendance), croissante, et le théorème de transfert donne $E (f (X)) = \sum_{x} f (x) P (X = x)$ .

$V (X) = E ((X - E X)^{2}) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ (Koenig-Huygens), $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , $σ (X) = V (X)$ .

Covariance : $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ et $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ . Si $X, Y$ sont indépendantes, $E (X Y) = E (X) E (Y)$ et $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ .

Piège : covariance nulle n'implique pas indépendance ( $X$ uniforme sur ${- 1, 0, 1}$ , $Y = X^{2}$ ). Et $V (X - Y) = V (X) + V (Y)$ pour des variables indépendantes : le signe moins ne change rien.

Inégalités

Markov : $X \geq 0$ , $a > 0$ : $P (X \geq a) \leq E (X) / a$ .
Bienaymé-Tchebychev : $P (∣ X - E (X) ∣ \geq ε) \leq V (X) / ε^{2}$ .

Appliquée à la moyenne $\overset{ˉ}{X}_{n}$ de $n$ variables indépendantes de même loi ( $V (\overset{ˉ}{X}_{n}) = σ^{2} / n$ ), Bienaymé-Tchebychev donne la loi faible des grands nombres : $P (∣ \overset{ˉ}{X}_{n} - m ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} \to 0$ .

📋

Méthodes de concours

Décomposer en indicatrices : pour compter des objets (succès, points fixes, paires...), écrire $X = \sum 1_{A_{i}}$ , puis $E (X) = \sum P (A_{i})$ par linéarité, sans connaître la loi de $X$ . Pour la variance, développer $V (X) = \sum V (1_{A_{i}}) + 2 \sum_{i < j} Cov$ .
Vérifier une loi : les probabilités trouvées doivent être positives et de somme 1 ; c'est le test d'erreur le plus simple.
Choisir l'univers : garder les tirages ordonnés pour l'équiprobabilité, puis compter.
Reconnaître les lois : binomiale si répétition indépendante d'une même épreuve ; uniforme si choix au hasard.
Calculer $E (X^{2})$ par transfert, ou $E (X (X - 1))$ pour la binomiale (formule du capitaine appliquée deux fois).
Arbres et Bayes : écrire explicitement le système complet d'événements avant d'appliquer les probabilités totales.

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