Variables aleatoires discretes
Lois, espérance, variance et lois usuelles : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique.
Introduction
Les variables aléatoires discrètes modélisent les résultats numériques d'expériences aléatoires à valeurs dénombrables. Les lois usuelles (binomiale, Poisson, géométrique) sont à connaître parfaitement pour les concours.
Définitions essentielles
Définition : Variable aléatoire discrète — Application X : Ω → ℝ prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Définition : Loi de X — Donnée de P(X = xᵢ) pour toutes les valeurs xᵢ de X. On a Σᵢ P(X = xᵢ) = 1.
Définition : Espérance — E(X) = Σᵢ xᵢ·P(X = xᵢ). C'est la « moyenne pondérée » des valeurs.
Définition : Variance — V(X) = E[(X − E(X))²] = E(X²) − [E(X)]². Mesure la dispersion.
Définition : Écart-type — σ(X) = √V(X).
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Linéarité de l'espérance
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) (toujours, même sans indépendance).
A retenir
: La linéarité de l'espérance est INCONDITIONNELLE. C'est la propriété la plus puissante.
Variance et indépendance
V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
V(aX + b) = a²V(X).
Formule de transfert
E(g(X)) = Σᵢ g(xᵢ)·P(X = xᵢ).
Inégalité de Markov
P(X ≥ a) ≤ E(X)/a pour X ≥ 0 et a > 0.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P(|X − E(X)| ≥ a) ≤ V(X)/a².
Formules clés
| Loi | Notation | E(X) | V(X) |
|---|---|---|---|
| Bernoulli | B(p) | p | p(1−p) |
| Binomiale | B(n, p) | np | np(1−p) |
| Poisson | P(λ) | λ | λ |
| Géométrique | G(p) | 1/p | (1−p)/p² |
| Uniforme discrète | U({1,…,n}) | (n+1)/2 | (n²−1)/12 |
Méthodes types
Méthode : Reconnaître une loi usuelle
- 1Identifier le type d'expérience (épreuves indépendantes, comptage, etc.)
- 2Bernoulli : une seule épreuve avec succès/échec
- 3Binomiale : n épreuves indépendantes, on compte les succès
- 4Géométrique : rang du premier succès
- 5Poisson : nombre d'événements rares sur un grand nombre d'essais
Méthode : Calculer E(X) et V(X)
- 1Déterminer la loi de X (tableau de valeurs et probabilités)
- 2Calculer E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ)
- 3Calculer E(X²) = Σ xᵢ²·P(X = xᵢ)
- 4V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Pièges classiques
- La variance n'est PAS linéaire : V(aX + b) = a²V(X) (pas a·V(X))
- V(X + Y) = V(X) + V(Y) nécessite l'indépendance
- Ne pas confondre la loi de X et les valeurs de X
- La géométrique peut commencer à 0 ou à 1 selon les conventions
Pour aller plus loin
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