Probabilités et statistiques : le socle B/L

Les probabilités occupent une place majeure dans les épreuves de mathématiques de la B/L, et les statistiques font le lien avec les sciences sociales. La clé est la modélisation : nommer les événements, reconnaître une loi usuelle, justifier l'indépendance.

Pour $P(B)>0$, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Trois formules organisent tous les exercices :

• Probabilités composées : $P(A_1\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_n)$, pour les expériences successives.
• Probabilités totales : si $(A_i)$ est un système complet d'événements, $P(B)={\sum }_{i}P(A_i)P_{A_i}(B)$.
• Bayes : $P_B(A_k)=\frac{P(A_k)P_{A_k}(B)}{{\sum }_{i}P(A_i)P_{A_i}(B)}$, pour remonter de l'effet à la cause.

Rédaction attendue : citer explicitement le système complet utilisé, par exemple « $(M,\bar{M})$ est un système complet d'événements ».

L'indépendance $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ne se confond pas avec l'incompatibilité $A\cap B=\varnothing$. Pour plus de deux événements, l'indépendance mutuelle est plus forte que l'indépendance deux à deux.

La loi de $X$ est la donnée de $X(\Omega )$ et des $P(X=x)$. L'espérance $E(X)=\sum xP(X=x)$ existe, dans le cas infini, si la série converge absolument. Elle est linéaire sans hypothèse d'indépendance.

Le théorème de transfert donne $E(g(X))=\sum g(x)P(X=x)$ sans calculer la loi de $g(X)$. La variance se calcule presque toujours par König-Huygens : $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$, et $V(aX+b)=a^{2}V(X)$.

Lois discrètes usuelles

**Reconnaître le modèle** : nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes (binomiale), rang du premier succès (géométrique), événements rares (Poisson). Les calculs d'espérance de la géométrique et de la Poisson reposent sur les séries $\sum n{q}^{n-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ et $\sum \frac{x^n}{n!}=e^x$.

Une densité $f$ est positive, continue sauf en un nombre fini de points, d'intégrale 1. Alors $F_X(x)={\int }_{-\infty }^{x}f$ et $P(X=a)=0$. Réciproquement, si $F_X$ est continue et $C^1$ sauf en un nombre fini de points, $f=F_X^{\prime }$.

Lois à densité usuelles

• Uniforme $\mathcal{U}([a,b])$ : $f=\frac{1}{b-a}$ sur $[a,b]$, $E=\frac{a+b}{2}$, $V=\frac{(b-a{)}^2}{12}$.
• Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda )$ : $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $P(X>t)=e^{-\lambda t}$, $E=1/\lambda$, $V=1/{\lambda }^2$ ; loi sans mémoire.
• Normale $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ : $E=\mu$, $V={\sigma }^2$ ; $Z=(X-\mu )/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)$, $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ et $P(|Z|\le 1,96)\approx 0,95$.

Méthode : loi de $Y=g(X)$

On calcule $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$ en résolvant l'inégalité, on distingue les cas selon $y$, puis on dérive. Pour un maximum de variables indépendantes : $F_{\max }(x)=F(x{)}^n$ ; pour un minimum : $P(\min >x)=(1-F(x){)}^n$.

La loi conjointe d'un couple discret détermine les lois marginales (probabilités totales), mais pas l'inverse. $X$ et $Y$ sont indépendantes si $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tous $x,y$.

• $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$.
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$.
• Indépendance $\Rightarrow$ covariance nulle ; la réciproque est fausse.
• Somme de binomiales indépendantes de même $p$ : $\mathcal{B}(n+m,p)$ ; somme de Poisson indépendantes : $\mathcal{P}(\lambda +\mu )$.

• Markov : $P(X\ge a)\le E(X)/a$ pour $X\ge 0$.
• Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-E(X)|\ge \epsilon )\le V(X)/{\epsilon }^2$.
• Loi faible des grands nombres : la moyenne empirique ${\bar{X}}_n$ se concentre autour de $m$, avec $P(|{\bar{X}}_n-m|\ge \epsilon )\le {\sigma }^2/(n{\epsilon }^2)$.
• Théorème central limite : $\frac{{\bar{X}}_n-m}{\sigma /\sqrt{n}}$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ pour $n$ grand.

Ces résultats fondent l'estimation : une fréquence observée $f$ sur $n$ individus donne l'intervalle de confiance asymptotique à 95 % $\left[f\pm 1,96\sqrt{f(1-f)/n}\right]$. C'est la logique des sondages : la précision progresse comme $1/\sqrt{n}$, donc diviser l'erreur par 2 demande quatre fois plus d'enquêtés.

Une variable

• Position : moyenne $\bar{x}$ (sensible aux valeurs extrêmes), médiane, quartiles.
• Dispersion : variance $s^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2$, écart-type, écart interquartile $Q_3-Q_1$, plus robuste.

En sciences sociales, on préfère souvent la médiane pour les revenus, dont la distribution est asymétrique : la moyenne est tirée vers le haut par les hauts revenus.

Deux variables

La covariance $\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$ et le coefficient de corrélation $r=\mathrm{cov}(x,y)/(s_x{s}_y)\in [-1,1]$ mesurent la liaison linéaire. La droite des moindres carrés $y=ax+b$ a pour pente $a=\mathrm{cov}(x,y)/s_x^2$ et passe par le point moyen.

Piège d'interprétation : une corrélation forte ne prouve pas une causalité (effet de structure, variable cachée, causalité inverse), et $r\approx 0$ n'exclut pas une relation non linéaire. Ce raisonnement est directement mobilisable en sociologie.

• Toujours expliciter le système complet d'événements.
• Reconnaître la loi avant de calculer : modèle, support, paramètres.
• $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ et $V(aX+b)=a^{2}V(X)$.
• Covariance nulle n'implique pas indépendance ; corrélation n'implique pas causalité.