Probabilites finies
Axiomes des probabilités, conditionnement, formule de Bayes, indépendance et probabilités totales.
Introduction
Les probabilités sur un univers fini constituent le socle de tout le programme de probabilités. Le conditionnement et la formule de Bayes sont des classiques absolus des concours, tant en exercice qu'en problème.
Définitions essentielles
Définition : Espace probabilisé fini — Couple (Ω, P) où Ω est fini et P : P(Ω) → [0, 1] vérifie P(Ω) = 1 et P est additive.
Définition : Probabilité conditionnelle — P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) pour P(B) > 0.
Définition : Indépendance — A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Définition : Système complet d'événements (SCE) — Famille (B₁, …, Bₙ) d'événements disjoints deux à deux dont la réunion est Ω.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Formule des probabilités totales
Si (B₁, …, Bₙ) est un SCE avec P(Bᵢ) > 0, alors pour tout A : P(A) = Σᵢ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ).
A retenir
: « Décomposer selon les causes » — c'est la méthode systématique pour calculer P(A).
Formule de Bayes
P(Bⱼ|A) = P(A|Bⱼ)·P(Bⱼ) / Σᵢ P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ).
Formule des probabilités composées
P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ Aₙ) = P(A₁)·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁∩A₂)·…·P(Aₙ|A₁∩…∩Aₙ₋₁).
Propriétés de l'indépendance
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ le sont aussi, et Ā et B̄ aussi.
Formules clés
| Formule | Expression | |||
|---|---|---|---|---|
| Inclusion-exclusion (2 evt) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | |||
| Complémentaire | P(Ā) = 1 − P(A) | |||
| Probabilité conditionnelle | P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) | ||
| Bayes | P(B | A) = P(A | B)·P(B)/P(A) | |
| Équiprobabilité | P(A) = | A | / | Ω |
Méthodes types
Méthode : Calculer une probabilité par arbre
- 1Identifier les étapes successives de l'expérience
- 2Construire l'arbre pondéré (chaque branche = probabilité conditionnelle)
- 3Multiplier le long des branches, additionner les chemins menant à l'événement
Méthode : Appliquer Bayes
- 1Identifier les « causes » Bⱼ (SCE)
- 2Calculer P(A|Bⱼ) et P(Bⱼ) pour chaque j
- 3Calculer P(A) par probabilités totales
- 4Appliquer la formule de Bayes
Pièges classiques
- Indépendance ≠ incompatibilité. Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) avec P(A), P(B) > 0 ne sont JAMAIS indépendants
- L'indépendance mutuelle de n événements est plus forte que l'indépendance deux à deux
- Ne pas confondre P(A|B) et P(B|A) (confusion fréquente en exercice)
- Bien vérifier que le SCE est bien un système COMPLET
Pour aller plus loin
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