VA a densite et convergence
Densité, fonction de répartition, lois continues usuelles, théorème central limite et loi des grands nombres.
Introduction
Les variables aléatoires à densité (ou continues) modélisent les phénomènes continus (durées, mesures physiques). La loi normale et le théorème central limite sont des outils fondamentaux, utilisés dans les sujets de concours les plus ambitieux.
Définitions essentielles
Définition : VA à densité — X admet la densité f si P(X ∈ [a,b]) = ∫ₐᵇ f(t) dt. On a f ≥ 0 et ∫₋∞⁺∞ f = 1.
Définition : Fonction de répartition — F(x) = P(X ≤ x) = ∫₋∞ˣ f(t) dt. On a F'(x) = f(x) aux points de continuité de f.
Définition : Espérance — E(X) = ∫₋∞⁺∞ x·f(x) dx (si l'intégrale converge absolument).
Définition : Variance — V(X) = E(X²) − [E(X)]² = ∫₋∞⁺∞ (x − E(X))²·f(x) dx.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Loi des grands nombres (faible)
Si X₁, …, Xₙ sont i.i.d. d'espérance μ, alors X̄ₙ = (X₁ + … + Xₙ)/n converge en probabilité vers μ.
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