ALI, rétroaction, stabilité et oscillateurs

L'amplificateur linéaire intégré (ALI, ou amplificateur opérationnel) est un composant actif alimenté en $\pm V_{cc}$ (typiquement $\pm 15\text{V}$), possédant une entrée non inverseuse $V_{+}$, une entrée inverseuse $V_{-}$ et une sortie $V_s$. On note $\epsilon =V_{+}-V_{-}$ la tension différentielle d'entrée.

Modèle de l'ALI idéal :

• courants d'entrée nuls : $i_{+}=i_{-}=0$ (impédance d'entrée infinie) ;
• gain différentiel infini : ${\mu }_0\to \infty$ ;
• impédance de sortie nulle : $V_s$ ne dépend pas de la charge ;
• saturation : $|V_s|\le V_{sat}$ avec $V_{sat}\approx 13$–$14\text{V}$ sous $\pm 15\text{V}$.

Deux régimes de fonctionnement :

• régime linéaire : $|V_s|<V_{sat}$, ce qui impose $\epsilon =0$ (car $V_s={\mu }_0\epsilon$ reste fini alors que ${\mu }_0\to \infty$) ;
• régime saturé : $V_s=+V_{sat}$ si $\epsilon >0$, $V_s=-V_{sat}$ si $\epsilon <0$.

Modèle réel du premier ordre : $\underline{\mu }(j\omega )=\frac{{\mu }_0}{1+j\omega /{\omega }_0}$ avec ${\mu }_0\approx 10^5$ et $f_0\approx 10\text{Hz}$. Le produit gain-bande ${\mu }_0{f}_0\approx 1\text{MHz}$ est une constante du composant. Autres limites : courant de sortie limité ($\approx 20\text{mA}$) et vitesse de balayage (slew rate) de l'ordre de $0,5$ à quelques ${\text{V⋅µs}}^{-1}$, qui triangularise les signaux rapides de grande amplitude.

Une rétroaction consiste à ramener une fraction $\beta$ de la sortie vers une entrée. Si elle revient sur l'entrée inverseuse, elle est négative : toute augmentation de $V_s$ diminue $\epsilon$, ce qui ramène le montage vers le régime linéaire. Si elle revient sur l'entrée non inverseuse, elle est positive : l'ALI sature.

Démonstration avec le modèle du premier ordre ($\tau =1/{\omega }_0$) pour le montage non inverseur de taux de rétroaction $\beta =R_1/(R_1+R_2)$ : $\tau \frac{\mathrm{d}{V}_s}{\mathrm{d}t}+V_s={\mu }_0(V_e-\beta V_s)$, soit

$$\tau \frac{\mathrm{d}{V}_s}{\mathrm{d}t}+(1+{\mu }_0\beta )V_s={\mu }_0{V}_e.$$

Les coefficients sont de même signe : le système est stable, de gain statique $\frac{{\mu }_0}{1+{\mu }_0\beta }\approx \frac{1}{\beta }=1+\frac{R_2}{R_1}$ et de constante de temps $\frac{\tau }{1+{\mu }_0\beta }$. La bande passante est multipliée par $1+{\mu }_0\beta$ : le produit gain × bande passante est conservé. Si la rétroaction était ramenée sur l'entrée +, on obtiendrait un coefficient $1-{\mu }_0\beta <0$ : solution exponentiellement croissante, donc saturation.

Critère de stabilité d'un système linéaire d'ordre 1 ou 2 : il est stable si et seulement si tous les coefficients de l'équation différentielle homogène sont de même signe (de façon équivalente, les pôles de la fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative).

> **Méthode** : en régime linéaire, écrire $V_{+}=V_{-}$, puis la loi des nœuds (ou le théorème de Millman) aux entrées en utilisant $i_{+}=i_{-}=0$. Ne jamais écrire de loi des nœuds à la sortie de l'ALI : son courant de sortie est inconnu.

L'intégrateur pur dérive à cause des tensions de décalage : on place en pratique une résistance $R^{\prime }$ en parallèle de $C$ (pseudo-intégrateur, passe-bas de pulsation de coupure $1/R^{\prime }C$, intégrateur seulement pour $\omega \gg 1/R^{\prime }C$).

Avec une rétroaction positive (pont $R_1$, $R_2$ entre la sortie et l'entrée +, signal $V_e$ sur l'entrée −), l'ALI est toujours saturé et $V_{+}=\beta V_s=\pm \beta V_{sat}$. La sortie bascule de $+V_{sat}$ à $-V_{sat}$ quand $V_e$ dépasse $+\beta V_{sat}$, et de $-V_{sat}$ à $+V_{sat}$ quand $V_e$ passe sous $-\beta V_{sat}$. La caractéristique $V_s(V_e)$ est un cycle d'hystérésis de largeur $2\beta V_{sat}$ : le montage est insensible à un bruit d'amplitude inférieure à cette largeur (trigger de Schmitt), contrairement au comparateur simple.

Un oscillateur est un montage bouclé qui produit un signal périodique sans signal d'entrée. Structure : un amplificateur de gain $A$ et un filtre sélectif de fonction de transfert $\underline{\beta }(j\omega )$ rebouclé sur l'entrée de l'amplificateur. La condition d'oscillation (Barkhausen) s'écrit $A\underline{\beta }(j{\omega }_0)=1$ : une condition sur le module (gain de boucle égal à 1) et une sur la phase (déphasage total nul), qui fixe la pulsation ${\omega }_0$.

Exemple de l'oscillateur à pont de Wien : amplificateur non inverseur de gain $A=1+R_2/R_1$ et filtre passe-bande $\underline{\beta }=\frac{1}{3+j(x-1/x)}$, avec $x=RC\omega$. L'équation de boucle $V_s=A\underline{\beta }{V}_s$ se traduit, en remplaçant $j\omega$ par $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$, par

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{3-A}{RC}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}+\frac{s}{(RC{)}^2}=0.$$

• $A<3$ : amortissement positif, toute perturbation s'éteint ;
• $A=3$ : oscillations sinusoïdales d'amplitude constante à ${\omega }_0=1/RC$, soit $f_0=1/(2\pi RC)$ ;
• $A>3$ : coefficient d'amortissement négatif, le système linéaire est instable et les oscillations croissent à partir du bruit.

En pratique on choisit $A$ légèrement supérieur à 3 pour garantir le démarrage ; l'amplitude est alors limitée par la saturation de l'ALI (non-linéarité), ce qui déforme légèrement le signal et enrichit son spectre. Le filtre atténue les harmoniques : plus il est sélectif, plus le signal est proche d'une sinusoïde.

L'association d'un comparateur à hystérésis et d'un intégrateur forme un multivibrateur astable : la sortie du comparateur est un créneau $\pm V_{sat}$, celle de l'intégrateur un triangle de pente $\pm V_{sat}/RC$. La période est le temps mis par le triangle pour parcourir deux fois la largeur du cycle d'hystérésis : pour le montage usuel à seuils $\pm V_{sat}{R}_1/R_2$, $T=4RC{R}_1/R_2$, indépendante de $V_{sat}$. Le signal est fortement non sinusoïdal ; son spectre contient de nombreux harmoniques. Ce type d'oscillateur exploite directement les commutations entre régimes saturés.

1. 1Identifier le type de rétroaction : négative seule → régime linéaire ; positive → régime saturé ; les deux → étudier le signe de la rétroaction nette.
2. 2En régime linéaire : $\epsilon =0$, $i_{\pm }=0$, Millman aux entrées, jamais à la sortie.
3. 3En régime saturé : chercher les seuils de basculement en écrivant $\epsilon =0$ à la limite.
4. 4Oscillateur : écrire l'équation de boucle en complexes, revenir à l'équation différentielle ($j\omega \to \mathrm{d}/\mathrm{d}t$) pour discuter stabilité et démarrage, puis identifier la non-linéarité qui fixe l'amplitude.