Interférences lumineuses : trous d'Young et interféromètre de Michelson

Une onde lumineuse monochromatique est décrite par une grandeur scalaire $s(M,t)=a(M)\cos \left(\omega t-\phi (M)\right)$. Le chemin optique entre deux points est $L_{AB}={\int }_A^{B}n\mathrm{d}\ell$ et la phase accumulée vaut $\phi (M)=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}{L}_{SM}$, avec ${\lambda }_0$ la longueur d'onde dans le vide. Le théorème de Malus assure que les rayons sont orthogonaux aux surfaces d'onde (lieux d'égal chemin optique).

Les détecteurs (œil, capteur CCD, photodiode) ont un temps de réponse ${\tau }_d\gg 10^{-14}\text{s}$ : ils mesurent l'intensité $I=K⟨s^2⟩$, proportionnelle au carré de l'amplitude. En notation complexe, $I=K\underline{s}{\underline{s}}^{\ast }/2$.

Ordres de grandeur : visible $400$–$800\text{nm}$, fréquence $\approx 5\times 10^{14}\text{Hz}$ ; laser He-Ne $632,8\text{nm}$ ; doublet jaune du sodium $589,0$ et $589,6\text{nm}$.

Deux ondes d'intensités $I_1$ et $I_2$ issues d'une même source (ondes synchrones et cohérentes) donnent en M :

$$I(M)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \phi (M),\Delta \phi =\frac{2\pi \delta (M)}{{\lambda }_0}$$

où $\delta =L_2-L_1$ est la différence de marche. L'ordre d'interférence est $p=\delta /{\lambda }_0$ : frange brillante si $p$ entier, sombre si $p$ demi-entier. Le contraste vaut $C=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2\sqrt{I_1{I}_2}}{I_1+I_2}$, maximal ($C=1$) si $I_1=I_2$.

Deux sources distinctes (ou deux points distincts d'une même lampe) sont incohérentes : leurs phases relatives varient aléatoirement plus vite que ${\tau }_d$, et les intensités s'ajoutent sans terme d'interférence.

Une source ponctuelle S éclaire deux trous $S_1$, $S_2$ distants de $a$ ; l'écran est à la distance $D\gg a$. Au point M d'abscisse $x$ (petits angles) :

$$\delta (M)=S_{2}M-S_{1}M\simeq \frac{ax}{D},I(x)=2I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi ax}{\lambda D}\right)\right].$$

Les franges sont rectilignes, non localisées (visibles partout derrière les trous), d'interfrange $i=\frac{\lambda D}{a}$. Avec une lentille de focale $f^{\prime }$ et un écran dans son plan focal, $i=\lambda f^{\prime }/a$. Exemple : $a=1\text{mm}$, $D=1\text{m}$, $\lambda =600\text{nm}$ donnent $i=0,6\text{mm}$.

**Cohérence spatiale.** Si la source est une fente de largeur $b$ placée à la distance $d$ des trous, chaque point source crée sa propre figure, décalée : la somme (incohérente) brouille les franges. Le contraste vaut $C=\left|\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi ab}{\lambda d}\right)\right|$ et s'annule pour $b=\lambda d/a$.

Cohérence temporelle. Une source de largeur spectrale $\Delta \lambda$ donne des franges dont le contraste chute quand $\delta$ atteint la longueur de cohérence ${\ell }_c={\lambda }^2/\Delta \lambda$. Le nombre de franges visibles est de l'ordre de $\lambda /\Delta \lambda$. Ordres de grandeur : lumière blanche ${\ell }_c\approx 1\mu \text{m}$, raie de lampe spectrale $\approx 1\text{mm}$, laser He-Ne $\approx 30\text{cm}$.

En lumière blanche, la frange centrale ($\delta =0$) est blanche, entourée de quelques franges irisées, puis blanc d'ordre supérieur (spectre cannelé au spectroscope).

Une lame séparatrice semi-réfléchissante divise l'onde incidente en deux voies qui se réfléchissent sur les miroirs $M_1$ et $M_2$ puis se recombinent. La compensatrice, parallèle à la séparatrice, égalise les traversées de verre. Tout se passe comme si l'onde interférait avec elle-même après réflexion sur $M_2$ et sur $M_1^{\prime }$, image de $M_1$ par la séparatrice.

Lame d'air (miroirs perpendiculaires, $M_1^{\prime }\parallel M_2$, épaisseur $e$)

Pour un rayon d'incidence $i$ : $\delta =2e\cos i$. Les franges sont des anneaux d'égale inclinaison, localisés à l'infini : on les observe dans le plan focal d'une lentille convergente (focale $f^{\prime }$) avec une source étendue (ce qui rend le dispositif lumineux). L'ordre est maximal au centre : $p_0=2e/\lambda$. Si le centre est brillant, le $k$-ième anneau brillant a pour rayon

$$r_k=f^{\prime }\sqrt{\frac{k\lambda }{e}}(k\ge 1),$$

donc les anneaux se resserrent vers l'extérieur. Lorsque $e$ diminue, les anneaux s'élargissent et rentrent au centre ; au contact optique ($e=0$) l'éclairement est uniforme (teinte plate).

Coin d'air (miroirs faisant un petit angle $\alpha$)

Sous incidence quasi normale, $\delta \simeq 2\alpha x$ où $x$ est la distance à l'arête : franges rectilignes d'égale épaisseur, parallèles à l'arête, d'interfrange $i=\frac{\lambda }{2\alpha }$, localisées sur les miroirs. On les projette sur un écran avec une lentille qui conjugue les miroirs et l'écran ; la source étendue est placée au foyer d'une lentille de collimation. Une lame mince introduite dans un bras décale les franges, ce qui permet de mesurer un indice ou une épaisseur.

Doublet du sodium (${\lambda }_1=589,0\text{nm}$, ${\lambda }_2=589,6\text{nm}$) : les deux systèmes d'anneaux, incohérents, se superposent. Ils sont en coïncidence puis en anticoïncidence périodiquement lorsqu'on translate le miroir : le contraste s'annule chaque fois que $e$ varie de

$$\Delta e=\frac{{\lambda }^2}{2\Delta \lambda }\approx 0,29\text{mm}.$$

Mesurer la période des brouillages donne $\Delta \lambda$. Pour une raie de profil continu de largeur $\Delta \lambda$, le contraste disparaît définitivement pour $2e\gtrsim {\ell }_c$ : le Michelson mesure des longueurs de cohérence.

1. 1Identifier le type de division (front d'onde : source ponctuelle obligatoire ; amplitude : source étendue possible, franges localisées).
2. 2Calculer $\delta (M)$ géométriquement, en incluant les lames éventuelles via $(n-1)e$.
3. 3Écrire $I=2I_0(1+\cos 2\pi \delta /\lambda )$, puis l'interfrange en imposant $\Delta \delta =\lambda$.
4. 4Pour une source non idéale, sommer les intensités sur les points sources ou sur les longueurs d'onde, et discuter le contraste.