Électrostatique et magnétostatique : symétries, théorème de Gauss, théorème d'Ampère

Une distribution de charges, décrite par une densité volumique $\rho$ (${\text{C⋅m}}^{-3}$), surfacique $\sigma$ (${\text{C⋅m}}^{-2}$) ou linéique $\lambda$ (${\text{C⋅m}}^{-1}$), crée un champ $\vec{E}$ (${\text{V⋅m}}^{-1}$) tel qu'une charge $q$ subit $\vec{F}=q\vec{E}$. Pour une charge ponctuelle (loi de Coulomb) :

$$\vec{E}(M)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{u}}_r,{\epsilon }_0=8,85\times 10^{-12}{\text{F⋅m}}^{-1}.$$

Le principe de superposition permet de sommer les contributions. Le champ est polaire (vrai vecteur) : en un point d'un plan de symétrie de la distribution, $\vec{E}$ est contenu dans ce plan ; en un point d'un plan d'antisymétrie, $\vec{E}$ lui est perpendiculaire. Les invariances (translation, rotation) réduisent les variables dont dépend $\vec{E}$.

Ordres de grandeur : champ atmosphérique au sol $\approx 100{\text{V⋅m}}^{-1}$ ; claquage de l'air $\approx 3\times 10^6{\text{V⋅m}}^{-1}$ ; champ dans un atome $\approx 10^{11}{\text{V⋅m}}^{-1}$.

Le flux de $\vec{E}$ à travers une surface fermée $\Sigma$ ne dépend que de la charge intérieure :

$${\oint }_{\Sigma }\vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_{\text{int}}}{{\epsilon }_0},\text{forme locale : }\mathrm{div}\vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\text{(Maxwell-Gauss)}.$$

En régime statique, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=\vec{0}$ : la circulation de $\vec{E}$ est conservative et $\vec{E}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V$. Le potentiel $V$ (en volts) vérifie l'équation de Poisson $\Delta V+\rho /{\epsilon }_0=0$ (de Laplace $\Delta V=0$ hors des charges). Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles et orientées vers les potentiels décroissants. L'énergie potentielle d'une charge est ${\mathcal{E}}_p=qV$.

Le condensateur plan stocke $\mathcal{E}=\frac{1}{2}C{U}^2$ ; la densité volumique d'énergie électrique est $\frac{{\epsilon }_0{E}^2}{2}$.

Analogie gravitationnelle : la masse joue le rôle de la charge et $-G$ celui de $1/(4\pi {\epsilon }_0)$. Le théorème de Gauss gravitationnel s'écrit $\oint \vec{g}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-4\pi G{M}_{\text{int}}$ : une planète à symétrie sphérique attire comme une masse ponctuelle.

Deux charges $-q$ en N et $+q$ en P forment un dipôle de moment $\vec{p}=q\overrightarrow{NP}$ (en $\text{C⋅m}$ ; usuel $10^{-30}\text{C⋅m}$, unité pratique le debye $1\text{D}=3,34\times 10^{-30}\text{C⋅m}$). À grande distance ($r\gg NP$) :

$$V(M)=\frac{\vec{p}\cdot {\vec{u}}_r}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2},E_r=\frac{2p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3},E_{\theta }=\frac{p\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}.$$

Le champ décroît en $1/r^3$ (contre $1/r^2$ pour une charge). Dans un champ extérieur ${\vec{E}}_0$, le dipôle subit le couple $\vec{\Gamma }=\vec{p}\wedge {\vec{E}}_0$ (qui l'aligne sur le champ), possède l'énergie potentielle ${\mathcal{E}}_p=-\vec{p}\cdot {\vec{E}}_0$ et, si le champ est inhomogène, la force $\vec{F}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\vec{p}\cdot {\vec{E}}_0)$ qui l'attire vers les zones de champ intense (c'est l'origine des forces de Van der Waals).

Les courants (densité $\vec{j}$ en ${\text{A⋅m}}^{-2}$, $I=\iint \vec{j}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$) créent un champ $\vec{B}$ en teslas. Une charge en mouvement subit la force de Lorentz $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\wedge \vec{B})$ ; un élément de conducteur subit la force de Laplace $\mathrm{d}\vec{F}=I\mathrm{d}\vec{\ell }\wedge \vec{B}$.

$\vec{B}$ est un pseudo-vecteur (vecteur axial) : les règles de symétrie sont inversées par rapport à $\vec{E}$. En un point d'un plan de symétrie des courants, $\vec{B}$ est perpendiculaire au plan ; en un point d'un plan d'antisymétrie, $\vec{B}$ est contenu dans le plan.

Ordres de grandeur : champ terrestre $5\times 10^{-5}\text{T}$, aimant $0,1\text{T}$, IRM $1$–$3\text{T}$, bobines supraconductrices $\approx 20\text{T}$.

$${\oint }_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0\vec{j},\mathrm{div}\vec{B}=0,{\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{H⋅m}}^{-1}.$$

Le courant enlacé est compté algébriquement, avec l'orientation de $\mathcal{C}$ et la règle de la main droite. $\mathrm{div}\vec{B}=0$ traduit l'absence de monopôle : le flux de $\vec{B}$ est conservatif, les lignes de champ se referment sur elles-mêmes et se resserrent là où le champ est intense. La composante tangentielle de $\vec{B}$ est discontinue de ${\mu }_0{j}_s$ à la traversée d'une nappe de courant surfacique.

Exemple : un solénoïde de $1000$ spires par mètre parcouru par $1\text{A}$ crée $B\approx 1,3\text{mT}$. La densité volumique d'énergie magnétique est $\frac{B^2}{2{\mu }_0}$.

Une boucle plane de surface $S$ parcourue par $I$ possède le moment magnétique $\vec{m}=I\vec{S}$ (${\text{A⋅m}}^2$), $\vec{S}$ étant orienté par le sens du courant. À grande distance, son champ est formellement identique à celui du dipôle électrique en remplaçant $\vec{p}/{\epsilon }_0$ par ${\mu }_0\vec{m}$ :

$$B_r=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{2m\cos \theta }{r^3},B_{\theta }=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{m\sin \theta }{r^3}.$$

Dans un champ extérieur ${\vec{B}}_0$ : couple $\vec{\Gamma }=\vec{m}\wedge {\vec{B}}_0$, énergie potentielle ${\mathcal{E}}_p=-\vec{m}\cdot {\vec{B}}_0$, force $\vec{F}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\vec{m}\cdot {\vec{B}}_0)$ (nulle en champ uniforme). Une aiguille aimantée s'aligne sur $\vec{B}$ ; un aimant est attiré vers les zones de champ fort. Le moment magnétique atomique est de l'ordre du magnéton de Bohr ${\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m_e}=9,27\times 10^{-24}{\text{A⋅m}}^2$.