Circuits électriques dans l'ARQS et régime transitoire du premier ordre

L'approximation des régimes quasi-stationnaires consiste à négliger le temps de propagation des signaux électriques dans le circuit. Elle est valable lorsque la taille $L$ du circuit est très petite devant la distance parcourue par le signal pendant sa durée caractéristique $T$ : $L\ll cT$. Pour un circuit de TP ($L\sim 1\mathrm{m}$) et des fréquences inférieures au MHz, l'ARQS est largement vérifiée.

Conséquences :

• l'intensité $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$ est la même en tout point d'une branche à un instant donné ;
• la tension entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, ce qui permet de définir un potentiel.

• Loi des nœuds : ${\sum }_k{\epsilon }_k{i}_k=0$ en chaque nœud (${\epsilon }_k=+1$ pour un courant entrant, $-1$ pour un courant sortant). Elle traduit la conservation de la charge.
• Loi des mailles : ${\sum }_k{\epsilon }_k{u}_k=0$ le long d'une maille orientée. Elle traduit l'unicité du potentiel.

En convention récepteur (flèches de $u$ et $i$ opposées), la puissance reçue est $p=ui$.

**Continuité** : l'énergie stockée ne pouvant varier instantanément (puissance finie), la tension $u_C$ et l'intensité $i_L$ sont des fonctions **continues** du temps. En revanche $i_C$ et $u_L$ peuvent sauter.

Générateurs

• Modèle de Thévenin : f.e.m. $E$ en série avec $r$, $u=E-ri$ en convention générateur.
• Modèle de Norton : source de courant $\eta =E/r$ en parallèle avec $r$.
• Puissance maximale transférée à une charge $R$ lorsque $R=r$ : $P_{max}=E^2/(4r)$.

• Résistances : série $R_{eq}=\sum R_k$, parallèle $1/R_{eq}=\sum 1/R_k$.
• Condensateurs : parallèle $C_{eq}=\sum C_k$, série $1/C_{eq}=\sum 1/C_k$.
• Bobines (non couplées) : comme les résistances.
• Diviseur de tension (résistances en série parcourues par le même courant) : $u_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U$.
• Diviseur de courant (résistances en parallèle) : $i_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$.

Circuit RC soumis à un échelon

À $t=0$ on ferme le circuit $E$ – $R$ – $C$, condensateur initialement déchargé. La loi des mailles $E=Ri+u_C$ avec $i=C\mathrm{d}{u}_C/\mathrm{d}t$ donne la forme canonique :

$\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+\frac{u_C}{\tau }=\frac{E}{\tau }$, avec $\tau =RC$.

Solution avec $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=0$ :

• $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau })$ ;
• $i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$ : le courant saute de 0 à $E/R$ puis décroît.

Décharge (condensateur chargé sous $E$, générateur remplacé par un fil) : $u_C=E{e}^{-t/\tau }$.

Circuit RL soumis à un échelon

$E=Ri+L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$, soit $\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+\frac{i}{\tau }=\frac{E}{L}$ avec $\tau =L/R$. Avec $i(0^{+})=0$ :

• $i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-t/\tau })$ ;
• $u_L(t)=E{e}^{-t/\tau }$.

Propriétés de la constante de temps

La tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale à $t=\tau$ : c'est la méthode graphique la plus rapide.

Bilan énergétique de la charge RC

En multipliant la loi des mailles par $i$ : $Ei=R{i}^2+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}C{u}_C^2\right)$. En intégrant de 0 à l'infini : le générateur fournit $C{E}^2$, le condensateur stocke $\frac{1}{2}C{E}^2$ et la résistance dissipe $\frac{1}{2}C{E}^2$. Le rendement de 50 % ne dépend pas de $R$.

• Un créneau de période $T\gg \tau$ permet d'observer à l'oscilloscope la charge puis la décharge de façon répétée.
• Mesure de $\tau$ : tangente à l'origine, temps à 63 %, ou régression linéaire sur $\ln |x-x_{\infty }|$ (méthode la plus précise).
• Les appareils de mesure (oscilloscope $\approx 1\mathrm{M}\Omega$, voltmètre $\approx 10\mathrm{M}\Omega$) se branchent en parallèle et doivent avoir une résistance d'entrée grande devant celles du circuit.

• Continuité de $u_C$ et $i_L$ : c'est la clé des conditions initiales.
• Régime permanent : condensateur = interrupteur ouvert, bobine = fil.
• Toujours mettre l'équation sous forme canonique pour lire $\tau$ directement.
• Pour les ponts diviseurs, vérifier l'hypothèse « même courant » ou « même tension ».
• Un bilan de puissance s'obtient en multipliant la loi des mailles par $i$.