Oscillateurs libres et forcés, filtrage linéaire

Mise en équation

Un condensateur $C$ initialement chargé se décharge dans une bobine $L$ en série avec une résistance $R$. La loi des mailles avec $i=C\frac{d{u}_C}{dt}$ donne :

$\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{d{u}_C}{dt}+\frac{1}{LC}{u}_C=0$

On l'écrit sous forme canonique :

${\ddot{u}}_C+\frac{{\omega }_0}{Q}{\dot{u}}_C+{\omega }_0^2{u}_C=0$, avec ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ (pulsation propre) et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{L{\omega }_0}{R}$ (facteur de qualité, sans dimension).

On rencontre aussi la notation avec le coefficient d'amortissement $\xi =\frac{1}{2Q}$ : $\ddot{u}+2\xi {\omega }_0\dot{u}+{\omega }_0^{2}u=0$.

Les trois régimes

L'équation caractéristique $r^2+\frac{{\omega }_0}{Q}r+{\omega }_0^2=0$ a pour discriminant $\Delta ={\omega }_0^2\left(\frac{1}{Q^2}-4\right)$.

Le régime critique est celui du retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation. En régime pseudo-périodique, l'enveloppe décroît avec le temps caractéristique $\tau =\frac{2Q}{{\omega }_0}$ : on observe de l'ordre de $Q$ oscillations avant extinction.

Bilan énergétique

En multipliant la loi des mailles par $i$ : $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}C{u}_C^2\right)=-R{i}^2$. L'énergie stockée décroît par effet Joule ; sans résistance, elle s'échange indéfiniment entre forme magnétique et forme électrique.

Principe

Un circuit linéaire alimenté par $e(t)=E_m\cos (\omega t)$ atteint, après un transitoire de durée quelques $\tau$, un régime où toutes les grandeurs sont sinusoïdales de même pulsation $\omega$, avec des amplitudes et des phases dépendant de $\omega$.

Notation complexe

À $x(t)=X_m\cos (\omega t+\phi )$ on associe $\underline{x}(t)=X_m{e}^{j(\omega t+\phi )}$ et l'amplitude complexe $\underline{X}=X_m{e}^{j\phi }$. Dériver revient à multiplier par $j\omega$. On obtient les impédances :