Mécanique du point : lois de Newton et approche énergétique

Le point matériel est repéré dans un référentiel par son vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$. Vitesse $\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}$ (m·s⁻¹), accélération $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$ (m·s⁻²).

• Coordonnées cartésiennes : $\vec{v}=\dot{x}{\vec{u}}_x+\dot{y}{\vec{u}}_y+\dot{z}{\vec{u}}_z$.
• Coordonnées cylindriques $(r,\theta ,z)$ : $\vec{v}=\dot{r}{\vec{u}}_r+r\dot{\theta }{\vec{u}}_{\theta }+\dot{z}{\vec{u}}_z$ et $\vec{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\vec{u}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\vec{u}}_{\theta }+\ddot{z}{\vec{u}}_z$, en utilisant $\frac{\mathrm{d}{\vec{u}}_r}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta }{\vec{u}}_{\theta }$ et $\frac{\mathrm{d}{\vec{u}}_{\theta }}{\mathrm{d}t}=-\dot{\theta }{\vec{u}}_r$.
• Mouvement circulaire de rayon $R$ : $v=R\dot{\theta }$, $\vec{a}=-\frac{v^2}{R}{\vec{u}}_r+R\ddot{\theta }{\vec{u}}_{\theta }$. S'il est uniforme, l'accélération est purement centripète, de norme $v^2/R=R{\omega }^2$.

Dans un référentiel galiléen :

1. 1Principe d'inertie : un point isolé ou pseudo-isolé a un mouvement rectiligne uniforme.
2. 2Principe fondamental de la dynamique (PFD) : $m\vec{a}=\sum \vec{F}$, ou $\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\sum \vec{F}$ avec $\vec{p}=m\vec{v}$ la quantité de mouvement (kg·m·s⁻¹).
3. 3Actions réciproques : ${\vec{F}}_{A\to B}=-{\vec{F}}_{B\to A}$.

Le référentiel terrestre est considéré galiléen pour des expériences de courte durée ; le référentiel géocentrique l'est pour les satellites, le référentiel de Copernic (héliocentrique) pour les planètes.

**Lois de Coulomb du frottement solide** : s'il n'y a pas glissement, $\Vert \vec{T}\Vert \le f\Vert \vec{N}\Vert$ ; s'il y a glissement, $\Vert \vec{T}\Vert =f\Vert \vec{N}\Vert$ et $\vec{T}$ est opposée à la vitesse de glissement. Un solide posé sur un plan incliné d'angle $\alpha$ reste immobile si $\tan \alpha \le f$.

Chute libre avec frottement linéaire : $m\dot{v}=mg-\alpha v$ donne $v(t)=v_{\lim }(1-e^{-t/\tau })$ avec $v_{\lim }=mg/\alpha$ et $\tau =m/\alpha$.

Oscillateur harmonique (masse-ressort horizontal) : $m\ddot{x}=-kx$, soit $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ avec ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ et $T_0=2\pi \sqrt{m/k}$. Solution $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, amplitude et phase fixées par les conditions initiales. La période est indépendante de l'amplitude (isochronisme).

Pendule simple : $\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0$. Aux petits angles, $T_0=2\pi \sqrt{\ell /g}$. Aux grands angles, la période augmente avec l'amplitude (anisochronisme).

Puissance d'une force : $\mathcal{P}=\vec{F}\cdot \vec{v}$ (W). Travail entre A et B : $W_{AB}={\int }_A^B\vec{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$ (J).

Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c=E_c(B)-E_c(A)=\sum W_{AB}(\vec{F})$, avec $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$. Forme instantanée : $\frac{\mathrm{d}{E}_c}{\mathrm{d}t}=\sum \mathcal{P}$.

Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin : il dérive alors d'une énergie potentielle $W_{AB}=-\Delta E_p$, soit $\vec{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}{E}_p$ (à une dimension $F_x=-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}x}$).

Théorème de l'énergie mécanique : $\Delta E_m=\sum W({\vec{F}}_{\text{non conservatives}})$ avec $E_m=E_c+E_p$. Si seules des forces conservatives travaillent, $E_m$ se conserve : on obtient une intégrale première du mouvement, très efficace pour calculer une vitesse en un point.

Les positions d'équilibre sont les points où $\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}x}=0$. L'équilibre est stable si $E_p$ y présente un minimum ($\frac{{\mathrm{d}}^2{E}_p}{\mathrm{d}{x}^2}>0$), instable si c'est un maximum. Au voisinage d'un équilibre stable $x_0$, $E_p(x)\approx E_p(x_0)+\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ avec $k=E_p^{\prime \prime }(x_0)$ : les petites oscillations sont harmoniques de pulsation ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$.

Le portrait de phase est le tracé de $\dot{x}$ en fonction de $x$. Un équilibre stable correspond à un point entouré de trajectoires fermées (ellipses pour l'oscillateur harmonique) ; un mouvement amorti donne une spirale qui converge vers le point d'équilibre ; les trajectoires sont parcourues dans le sens horaire ($\dot{x}>0$ quand $x$ croît).

Le mouvement est borné à l'intervalle où $E_p(x)\le E_m$ : on parle d'état lié ; sinon d'état de diffusion.

1. 1Définir le système, le référentiel (galiléen ?) et faire le bilan des forces avec un schéma.
2. 2Choisir le système de coordonnées adapté à la géométrie (cartésiennes pour un plan incliné, polaires pour un cercle).
3. 3Projeter le PFD ou utiliser une méthode énergétique si l'on cherche une vitesse ou une équation à un degré de liberté.
4. 4Résoudre avec les conditions initiales ; vérifier l'homogénéité, les cas limites (frottement nul, angle nul) et les ordres de grandeur.