Lois de Newton et approche énergétique

Bases usuelles

La base polaire tourne avec le point : $\frac{d{\vec{e}}_r}{dt}=\dot{\theta }{\vec{e}}_{\theta }$ et $\frac{d{\vec{e}}_{\theta }}{dt}=-\dot{\theta }{\vec{e}}_r$. Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon $R$, $\vec{a}=-R{\omega }^2{\vec{e}}_r=-\frac{v^2}{R}{\vec{e}}_r$ : centripète, non nulle bien que la norme de la vitesse soit constante.

• Principe d'inertie : dans un référentiel galiléen, un point isolé ou pseudo-isolé est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Référentiels galiléens usuels : Copernic, géocentrique (durées courtes devant un an), terrestre (durées courtes devant un jour).
• PFD : $\frac{d\vec{p}}{dt}=\sum \vec{F}$, soit $m\vec{a}=\sum \vec{F}$ à masse constante.
• Actions réciproques : ${\vec{F}}_{A\to B}=-{\vec{F}}_{B\to A}$, même droite d'action.

Forces usuelles

> **Méthode :** frottement solide. Supposer le non-glissement, calculer $\vec{T}$ et $\vec{N}$, vérifier $\Vert \vec{T}\Vert \le f\Vert \vec{N}\Vert$. Si l'inégalité est violée, il y a glissement : reprendre avec $\Vert \vec{T}\Vert =f\Vert \vec{N}\Vert$ et $\vec{T}$ opposée à la vitesse de glissement.

Mouvements classiques

• Chute libre avec ${\vec{v}}_0$ inclinée de $\alpha$ : trajectoire parabolique, portée $\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$ (maximale à $45^{\circ }$), flèche $\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$.
• Chute avec frottement linéaire : $m\dot{v}=mg-\alpha v$, vitesse limite $v_{lim}=mg/\alpha$, temps caractéristique $\tau =m/\alpha$, $v=v_{lim}(1-e^{-t/\tau })$.
• Oscillateur harmonique : $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$, ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$, $x=X_m\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, période indépendante de l'amplitude. Pour une masse suspendue, le poids ne fait que déplacer l'équilibre ($k({\ell }_{eq}-{\ell }_0)=mg$).
• Pendule simple : $\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0$ ; aux petits angles $T_0=2\pi \sqrt{\ell /g}$. La tension vaut $T=mg\cos \theta +m\ell {\dot{\theta }}^2$ (projection radiale du PFD).
• Oscillateur amorti : $\ddot{x}+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$, $Q=\sqrt{km}/\alpha$ ; régimes pseudo-périodique ($Q>1/2$), critique, apériodique, comme pour le RLC.

Travail et puissance

$\delta W=\vec{F}\cdot d\overrightarrow{OM}$, $P=\vec{F}\cdot \vec{v}$, $W_{AB}={\int }_A^B\vec{F}\cdot d\overrightarrow{OM}$. Une force perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas : réaction normale, tension d'un pendule, force magnétique.

Théorèmes

• Énergie cinétique : $\Delta E_c=\sum W_{AB}(\vec{F})$ ; puissance cinétique : $\frac{d{E}_c}{dt}=\sum P$.
• Force conservative : travail indépendant du chemin ; $\delta W=-d{E}_p$, $F_x=-\frac{d{E}_p}{dx}$. Pesanteur : $E_p=mgz$ (axe ascendant) ; ressort : $E_p=\frac{1}{2}k(\ell -{\ell }_0{)}^2$.
• Énergie mécanique : $E_m=E_c+E_p$, $\Delta E_m=\sum W({\vec{F}}_{nc})$. Les frottements font décroître $E_m$ ; sans force non conservative qui travaille, $E_m$ est conservée.

Équilibre, stabilité, portrait de phase

• Équilibre en $x_0$ si $E_p^{\prime }(x_0)=0$. Stable si $E_p^{\prime \prime }(x_0)>0$ (minimum) : petites oscillations de pulsation ${\omega }_0=\sqrt{E_p^{\prime \prime }(x_0)/m}$. Instable si maximum.
• Lecture du graphe $E_p(x)$ : mouvement possible là où $E_p\le E_m$ ; les intersections sont des points de rebroussement. Zone bornée : état lié ; non bornée : état de diffusion.
• Portrait de phase $(x,\dot{x})$ : parcouru dans le sens horaire ; ellipse pour l'oscillateur harmonique ; spirale convergente pour un oscillateur amorti ; courbe fermée = mouvement périodique ; l'équilibre instable est un col d'où partent les séparatrices.

1. 1Schéma, système, référentiel, bilan des forces : les quatre étapes à écrire explicitement avant tout PFD ; orienter les axes et vérifier le signe du poids.
2. 2Choisir la base : polaire pour les mouvements circulaires ou à force centrale, cartésienne pour les projectiles, Frenet pour discuter l'accélération normale.
3. 3Projeter le PFD sur chaque vecteur de base ; une équation donne le mouvement, l'autre une force inconnue (tension, réaction).
4. 4Énergie d'abord pour une vitesse en un point ou l'équation du mouvement à un degré de liberté ; vérifier la cohérence des signes des travaux (frottement toujours négatif).
5. 5Linéariser autour de l'équilibre pour les petites oscillations : ${\omega }_0^2=E_p^{\prime \prime }(x_0)/m$.
6. 6Analyse dimensionnelle et ordres de grandeur en fin de calcul : $\sqrt{k/m}$ en ${\mathrm{s}}^{-1}$, $mg/\alpha$ en $\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.