Optique géométrique

L'optique géométrique décrit la lumière par des rayons lumineux, valable lorsque les dimensions des objets rencontrés sont très grandes devant la longueur d'onde ($\lambda \approx 400$–$800\text{nm}$ dans le visible). Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, les rayons se propagent en ligne droite. L'indice optique d'un milieu est $n=c/v$ avec $c=3,00\times 10^8{\text{m⋅s}}^{-1}$ ; il vaut 1 dans le vide, environ 1,33 pour l'eau et 1,5 pour le verre. Dans un milieu dispersif, $n$ dépend de $\lambda$ (loi de Cauchy $n=A+B/{\lambda }^2$) : le bleu est plus dévié que le rouge par un prisme.

Principe du retour inverse : le trajet d'un rayon ne dépend pas du sens de parcours.

À l'interface entre deux milieux d'indices $n_1$ et $n_2$, le rayon incident, le rayon réfléchi, le rayon réfracté et la normale sont dans le même plan (plan d'incidence). Les angles sont mesurés par rapport à la normale.

• Réflexion : $i_r=i_1$.
• Réfraction : $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.

Si $n_2>n_1$, le rayon réfracté se rapproche de la normale. Si $n_1>n_2$, il existe un angle limite $i_{\ell }$ tel que $\sin i_{\ell }=n_2/n_1$ : au-delà, il y a réflexion totale. C'est le principe de la fibre optique à saut d'indice, dont l'ouverture numérique vaut $ON=\sin {\theta }_{\max }=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$ (cœur $n_1$, gaine $n_2$).

Un système est stigmatique pour un couple de points $(A,A^{\prime })$ si tout rayon issu de $A$ passe par $A^{\prime }$ après traversée du système. Le miroir plan est rigoureusement stigmatique (image virtuelle symétrique de l'objet). Les autres systèmes ne le sont qu'approximativement, dans les conditions de Gauss : rayons peu inclinés sur l'axe optique et proches de celui-ci (rayons paraxiaux). Dans ces conditions, le système est aussi aplanétique : un objet plan perpendiculaire à l'axe donne une image plane perpendiculaire à l'axe.

Un objet (ou une image) est réel si les rayons passent effectivement par lui, virtuel s'il n'est défini que par leurs prolongements.

Une lentille mince est caractérisée par son centre optique $O$, ses foyers objet $F$ et image $F^{\prime }$ et sa distance focale image $f^{\prime }=\overline{O{F}^{\prime }}$. On a $\overline{OF}=-f^{\prime }$. La vergence est $V=1/f^{\prime }$, en dioptries ($\delta$, soit ${\text{m}}^{-1}$).

• Lentille convergente : $f^{\prime }>0$ (bords minces). Un faisceau parallèle à l'axe converge en $F^{\prime }$.
• Lentille divergente : $f^{\prime }<0$ (bords épais).

Règles de construction (rayons particuliers) :

1. 1un rayon passant par $O$ n'est pas dévié ;
2. 2un rayon parallèle à l'axe ressort en passant par $F^{\prime }$ (ou son prolongement) ;
3. 3un rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe.

Relation de conjugaison de Descartes (origine au centre) :

$$\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f^{\prime }}$$

Grandissement transversal : $\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$.

Relation de Newton (origines aux foyers) : $\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}$, avec $\gamma =-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}=\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}$.

> **Méthode** : toujours travailler avec des **mesures algébriques** orientées dans le sens de propagation de la lumière, et vérifier la cohérence du signe de $\gamma$ (négatif = image renversée).

Pour deux lentilles accolées, les vergences s'ajoutent : $V=V_1+V_2$.

L'œil est modélisé par une lentille convergente de vergence variable (le cristallin, qui accommode) et un écran fixe (la rétine). L'œil normal (emmétrope) voit net sans accommoder un objet à l'infini (punctum remotum PR à l'infini) et au plus près à environ 25 cm (punctum proximum PP). La myopie (œil trop convergent, PR à distance finie) se corrige avec une lentille divergente ; l'hypermétropie avec une convergente. Le pouvoir de résolution angulaire de l'œil est de l'ordre de $1^{\prime }$ ($3\times 10^{-4}\text{rad}$).

Loupe : objet placé entre $F$ et $O$, image virtuelle droite agrandie. Pour une observation sans fatigue, l'objet est placé en $F$ : l'image est à l'infini et l'œil n'accommode pas.

Lunette astronomique : objectif (grande focale $f_1^{\prime }$) et oculaire (courte focale $f_2^{\prime }$) disposés de façon afocale ($F_1^{\prime }=F_2$). L'image d'un objet à l'infini est à l'infini ; le grossissement vaut $G=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=-\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}$.

Appareil photographique : objectif convergent, capteur dans le plan de l'image. Mise au point par translation de l'objectif ; la profondeur de champ augmente quand le diaphragme se ferme.

Pour un miroir plan, l'image est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir : $\overline{H{A}^{\prime }}=-\overline{HA}$, $\gamma =+1$. Un objet réel donne une image virtuelle. Les miroirs sphériques dans les conditions de Gauss vérifient $\frac{1}{\overline{S{A}^{\prime }}}+\frac{1}{\overline{SA}}=\frac{2}{\overline{SC}}$, avec $f^{\prime }=\overline{SC}/2$ (programme : approche qualitative et constructions).

1. 1Faire un schéma à l'échelle avec l'axe orienté dans le sens de la lumière.
2. 2Identifier la nature de l'objet (réel/virtuel) pour chaque élément du système, en traitant les lentilles l'une après l'autre : l'image donnée par la première est l'objet de la seconde.
3. 3Appliquer Descartes ou Newton selon l'origine la plus commode.
4. 4Contrôler par une construction graphique et par l'ordre de grandeur.