Optique géométrique : formation des images

L'optique géométrique décrit la lumière par des rayons lumineux, valables lorsque les dimensions des objets et des ouvertures sont grandes devant la longueur d'onde ($d\gg \lambda$, avec $\lambda \in [400,800]$ nm pour le visible). Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, les rayons sont rectilignes et indépendants les uns des autres (principe du retour inverse de la lumière).

L'indice optique d'un milieu est $n=c/v\ge 1$ : air $\approx 1$, eau $1,33$, verre $\approx 1,5$. Il dépend de la longueur d'onde (dispersion, loi de Cauchy $n=A+B/{\lambda }^2$) : c'est l'origine de la décomposition de la lumière blanche par un prisme.

Au point d'incidence sur un dioptre séparant deux milieux $n_1$ et $n_2$, on définit le plan d'incidence (rayon incident + normale).

• Réflexion : le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et $i^{\prime }=i$ (de part et d'autre de la normale).
• Réfraction : le rayon réfracté est dans le plan d'incidence et $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.

En passant dans un milieu plus réfringent, le rayon se rapproche de la normale. Dans le sens inverse ($n_2<n_1$), il existe un angle limite $i_{lim}$ avec $\sin i_{lim}=n_2/n_1$ au-delà duquel il n'y a plus de rayon réfracté : c'est la réflexion totale (verre/air : $i_{lim}\approx 42^{\circ }$). Elle est exploitée dans les fibres optiques (guidage par réflexions totales à l'interface cœur-gaine) et les prismes à réflexion totale.

Un système est stigmatique pour $(A,A^{\prime })$ si tous les rayons issus de $A$ passent par $A^{\prime }$ : $A^{\prime }$ est l'image de $A$. Le miroir plan est le seul système rigoureusement stigmatique pour tout point (image symétrique de l'objet, virtuelle, de même taille).

Les systèmes centrés (lentilles, miroirs sphériques) ne sont stigmatiques que de façon approchée, dans les conditions de Gauss : rayons paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés sur l'axe optique et passant près du centre. On a alors $\sin i\approx \tan i\approx i$, et le système est aussi aplanétique (un objet plan perpendiculaire à l'axe donne une image plane perpendiculaire à l'axe).

Une image est réelle si les rayons émergents s'y coupent effectivement (observable sur un écran), virtuelle s'ils semblent en provenir (observable à l'œil seulement).

Définitions

Une lentille mince est caractérisée par son centre optique $O$ (rayon non dévié), ses foyers objet $F$ et image $F^{\prime }$, symétriques par rapport à $O$, et sa distance focale $f^{\prime }=\overline{O{F}^{\prime }}$. La vergence $V=1/f^{\prime }$ s'exprime en dioptries ($\delta ={\mathrm{m}}^{-1}$).

### Relations de conjugaison

Mesures algébriques orientées dans le sens de la lumière.

• Descartes (origine en $O$) : $\frac{1}{\overline{O{A}^{\prime }}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f^{\prime }}$, grandissement $\gamma =\frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{O{A}^{\prime }}}{\overline{OA}}$.
• Newton (origine aux foyers) : $\overline{FA}\cdot \overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}=-f^{\prime 2}$, $\gamma =\frac{f^{\prime }}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F^{\prime }{A}^{\prime }}}{f^{\prime }}$.

Un objet à l'infini vu sous l'angle $\alpha$ donne une image dans le plan focal image, de taille $f^{\prime }\alpha$.

Constructions géométriques

Trois rayons issus de $B$ suffisent : celui passant par $O$ (non dévié), celui parallèle à l'axe (émerge par $F^{\prime }$), celui passant par $F$ (émerge parallèle à l'axe). Pour un rayon quelconque, on utilise un foyer secondaire : le rayon parallèle passant par $O$ coupe le plan focal image en $F_s^{\prime }$, par lequel passe l'émergent.

Résultats de TP à connaître

• Autocollimation : avec un miroir plan derrière la lentille, l'image se forme dans le plan de l'objet (renversée, même taille) quand l'objet est dans le plan focal objet : on lit $f^{\prime }$ directement.
• Bessel / Silbermann : pour projeter une image réelle sur un écran à distance $D$ de l'objet, il faut $D\ge 4f^{\prime }$. Si $D>4f^{\prime }$, deux positions de lentille conviennent ; si $D=4f^{\prime }$, une seule, avec $\gamma =-1$.

L'œil est modélisé par une lentille convergente de vergence variable (cristallin) et un écran fixe (rétine) à environ 17 mm. L'accommodation ajuste la vergence pour former l'image sur la rétine.

• Punctum remotum (PR) : point le plus éloigné vu net sans accommoder, à l'infini pour un œil emmétrope.
• Punctum proximum (PP) : point le plus proche vu net en accommodant au maximum, $d_m\approx 25$ cm.
• Résolution angulaire : environ $1^{\prime }\approx 3\times 10^{-4}$ rad.

## 6. Instruments

• Loupe : objet dans le plan focal objet, image à l'infini (pas de fatigue). Grossissement commercial $G_c=d_m/f^{\prime }$.
• Lunette astronomique afocale : objectif de focale $f_1^{\prime }$ et oculaire $f_2^{\prime }$ avec $F_1^{\prime }=F_2$. Grossissement $G=-f_1^{\prime }/f_2^{\prime }$ ; image renversée. Un oculaire divergent (Galilée) redresse l'image.
• Appareil photo : objectif convergent, image réelle sur le capteur ; mise au point par translation de l'objectif ; diaphragme (nombre d'ouverture $N=f^{\prime }/D$) qui gère lumière et profondeur de champ ; temps de pose.

1. 1Orienter l'axe dans le sens de la lumière et écrire toutes les positions en mesures algébriques avant d'appliquer Descartes ou Newton.
2. 2Construire systématiquement, même sommairement : la figure donne la nature et le sens de l'image et permet de détecter une erreur de signe.
3. 3Objet ou image à l'infini : passer par le plan focal et utiliser $f^{\prime }\alpha$ ; pour les instruments, raisonner en angles.
4. 4Systèmes à deux lentilles : traiter les conjugaisons successivement, l'image intermédiaire de la première étant l'objet de la seconde (éventuellement virtuel).
5. 5Réflexion totale : vérifier d'abord le sens du passage ($n_1>n_2$) avant de chercher un angle limite.
6. 6Ordres de grandeur : $f^{\prime }$ de quelques cm pour une loupe, $\approx 50$ mm pour un objectif standard, $d_m=25$ cm, résolution de l'œil $1^{\prime }$.