Conversion de puissance : puissance sinusoïdale, transformateur et hacheur série

Pour un dipôle en convention récepteur soumis à $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t)$ et parcouru par $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t-\phi )$ ($U$, $I$ valeurs efficaces, $\phi$ avance de $u$ sur $i$), la puissance instantanée $p=ui$ oscille à la pulsation $2\omega$ autour de sa valeur moyenne :

$$P=⟨p⟩=UI\cos \phi .$$

• Puissance active $P$ (W) : seule puissance réellement convertie (chaleur, travail mécanique).
• Puissance réactive $Q=UI\sin \phi$ (var) : échangée en permanence avec les bobines et les condensateurs, de valeur moyenne nulle.
• Puissance apparente $S=UI$ (VA) : dimensionne conducteurs et générateurs ; $S^2=P^2+Q^2$.
• Facteur de puissance $\cos \phi =P/S$.

En notation complexe avec les amplitudes complexes efficaces : $\underline{S}=\underline{U}{\underline{I}}^{\ast }=P+jQ$, soit $P=\mathrm{Re}(\underline{U}{\underline{I}}^{\ast })$. Pour une impédance $\underline{Z}=R+jX$ : $P=R{I}^2$ et $Q=X{I}^2$ ($Q>0$ pour une bobine, $Q<0$ pour un condensateur). Les puissances actives d'une part, réactives d'autre part, s'additionnent (théorème de Boucherot) ; les puissances apparentes, non.

Relèvement du facteur de puissance : pour une puissance utile $P$ donnée sous tension $U$ imposée, le courant en ligne vaut $I=P/(U\cos \phi )$ et les pertes en ligne $r{I}^2$ sont proportionnelles à $1/{\cos }^2\phi$. Les fournisseurs imposent $\cos \phi \gtrsim 0,9$. Un condensateur en parallèle d'une installation inductive fournit localement la puissance réactive consommée ; pour passer de $\phi$ à ${\phi }^{\prime }$ :

$$C=\frac{P(\tan \phi -\tan {\phi }^{\prime })}{\omega U^2}.$$

Un transformateur comprend deux bobinages (primaire $N_1$ spires, secondaire $N_2$) enroulés sur un circuit magnétique fermé en matériau ferromagnétique doux, qui canalise le flux. Si le flux $\Phi$ à travers une spire est le même dans les deux enroulements (pas de fuites), la loi de Faraday donne $u_1=N_1\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$ et $u_2=N_2\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$, d'où le rapport de transformation

$$m=\frac{u_2}{u_1}=\frac{N_2}{N_1}.$$

Le théorème d'Ampère le long d'une ligne de champ moyenne de longueur $\ell$ s'écrit $H\ell =N_1{i}_1-N_2{i}_2$ (primaire en convention récepteur, secondaire en convention générateur). Pour un matériau de perméabilité très grande, $H\to 0$ : $N_1{i}_1=N_2{i}_2$, soit $\frac{i_2}{i_1}=\frac{1}{m}$.