Diffusion thermique : loi de Fourier, équation de la chaleur, résistances thermiques

• Conduction (ou diffusion thermique) : transfert de proche en proche, sans transport macroscopique de matière, sous l'effet d'un gradient de température (agitation moléculaire, électrons libres dans les métaux). C'est le mode étudié ici.
• Convection : transfert par déplacement d'ensemble d'un fluide (naturelle si due aux différences de densité, forcée si imposée par un ventilateur ou une pompe).
• Rayonnement : émission d'ondes électromagnétiques par tout corps, d'autant plus intense que la température est élevée ; seul mode possible dans le vide (Soleil, four).

Le vecteur densité de courant thermique ${\vec{j}}_Q$ (W·m⁻²) est tel que la puissance traversant une surface orientée $\mathrm{d}\vec{S}$ soit $\mathrm{d}\Phi ={\vec{j}}_Q\cdot \mathrm{d}\vec{S}$. La loi de Fourier est une loi phénoménologique linéaire :

$${\vec{j}}_Q=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

$\lambda$ est la conductivité thermique (W·m⁻¹·K⁻¹), positive. Le signe $-$ traduit l'irréversibilité : l'énergie va du chaud vers le froid, conformément au second principe. La loi est valable pour des gradients modérés et des échelles grandes devant le libre parcours moyen.

Les métaux conduisent bien (électrons libres), les isolants thermiques sont des matériaux qui emprisonnent de l'air immobile.

On considère un solide (ou un fluide au repos) de masse volumique $\rho$, de capacité thermique massique $c$, éventuellement siège d'une puissance volumique $p$ produite (effet Joule, réaction nucléaire, radioactivité). Le premier principe appliqué à un volume $\mathrm{d}\tau$ pendant $\mathrm{d}t$ s'écrit, en version locale :

$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\mathrm{div}{\vec{j}}_Q+p$$

Avec la loi de Fourier et $\lambda$ uniforme, on obtient l'équation de la chaleur (ou de la diffusion thermique) :

$$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \Delta T+p\text{soit, aˋ une dimension,}\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{p}{\rho c}$$

avec $D=\frac{\lambda }{\rho c}$ la diffusivité thermique (m²·s⁻¹). Cette équation est linéaire (superposition des solutions) et irréversible : elle n'est pas invariante par renversement du temps $t\to -t$ (dérivée première en temps, seconde en espace), contrairement à l'équation de d'Alembert.