Phénomènes de transport : conduction électrique, diffusion de particules, diffusion thermique

Un phénomène de transport est le déplacement d'une grandeur extensive (charge, nombre de particules, énergie) à travers un milieu, provoqué par une inhomogénéité (champ électrique, gradient de concentration ou de température). Les trois phénomènes du programme partagent le même formalisme : un vecteur densité de courant $\vec{j}$, une loi phénoménologique linéaire qui relie $\vec{j}$ à la cause, et un bilan local qui traduit une loi de conservation.

Dans un métal, les électrons de conduction (densité $n$, charge $-e$, masse $m$) sont libres mais subissent des collisions avec le réseau, modélisées par une force de frottement fluide $-\frac{m}{\tau }\vec{v}$, où $\tau$ est le temps de relaxation (durée moyenne entre deux collisions). Sous un champ $\vec{E}$ uniforme et permanent :

$$m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-e\vec{E}-\frac{m}{\tau }\vec{v}⟹\vec{v}=-\frac{e\tau }{m}\vec{E}\text{ en reˊgime permanent (atteint en quelques }\tau \text{)}$$

La densité de courant $\vec{j}=-ne\vec{v}$ donne la loi d'Ohm locale :

$$\vec{j}=\gamma \vec{E}\gamma =\frac{n{e}^2\tau }{m}$$

$\gamma$ est la conductivité (S·m⁻¹), $\rho =1/\gamma$ la résistivité. Pour le cuivre : $n\approx 8,5\times 10^{28}{\text{m}}^{-3}$, $\gamma \approx 6\times 10^7{\text{S⋅m}}^{-1}$, d'où $\tau \approx 2,5\times 10^{-14}$ s. La vitesse de dérive est minuscule : pour $j=10^6{\text{A⋅m}}^{-2}$ (1 A dans 1 mm²), $v=j/(ne)\approx 7\times 10^{-5}{\text{m⋅s}}^{-1}$.

Conséquences :

• la puissance volumique dissipée par effet Joule est $p=\vec{j}\cdot \vec{E}=\gamma E^2=j^2/\gamma$ (W·m⁻³) ; elle correspond à l'énergie cédée au réseau par les collisions ;
• pour un conducteur cylindrique de longueur $\ell$ et de section $S$, l'intégration donne $U=RI$ avec $R=\frac{\ell }{\gamma S}$ ;
• la conservation de la charge s'écrit $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{div}\vec{j}=0$ ; en régime stationnaire (ou ARQS), $\mathrm{div}\vec{j}=0$ : le courant $I$ est le même à travers toute section du conducteur (loi des nœuds).

On ajoute un champ magnétique $\vec{B}$ perpendiculaire au courant. En régime permanent, l'équation de Drude devient $-e(\vec{E}+\vec{v}\wedge \vec{B})-\frac{m}{\tau }\vec{v}=\vec{0}$. Dans un ruban conducteur où le courant est imposé selon $x$ et $\vec{B}$ selon $z$, les électrons sont déviés selon $y$ et s'accumulent sur un bord jusqu'à ce qu'un champ de Hall transverse compense la force magnétique :

$${\vec{E}}_H=-\vec{v}\wedge \vec{B}=\frac{1}{ne}\vec{j}\wedge \vec{B}$$

La tension de Hall entre les deux bords du ruban (largeur $a$ selon $y$, épaisseur $b$ selon $\vec{B}$) vaut, avec $I=jab$ :

$$|U_H|=E_{H}a=\frac{IB}{neb}$$

Elle est proportionnelle à $B$ (sonde à effet Hall, teslamètre), inversement proportionnelle à $n$ (donc très faible dans les métaux, mesurable dans les semi-conducteurs où $n$ est $10^4$ à $10^8$ fois plus petit), et son signe révèle le signe des porteurs (électrons ou trous). Le champ de Hall ne modifie pas la loi d'Ohm longitudinale : $j_x=\gamma E_x$ reste vraie.

Soit $n(M,t)$ la densité volumique de particules (m⁻³) d'une espèce diluée dans un milieu au repos. Le vecteur densité de courant de particules ${\vec{j}}_N$ (m⁻²·s⁻¹) suit la loi de Fick :

$${\vec{j}}_N=-D\overrightarrow{\mathrm{grad}}n$$

$D$ est le coefficient de diffusion (m²·s⁻¹). Les particules vont des zones concentrées vers les zones diluées, par simple marche au hasard : une interprétation microscopique donne $D\sim \ell v^{\ast }$ (libre parcours moyen $\times$ vitesse d'agitation thermique, à un facteur numérique près). Le bilan de particules dans un volume, avec un éventuel taux de production volumique $\sigma$ (m⁻³·s⁻¹), conduit à l'équation de diffusion :

$$\frac{\partial n}{\partial t}=-\mathrm{div}{\vec{j}}_N+\sigma =D\Delta n+\sigma$$

En régime stationnaire sans source et en 1D, $n(x)$ est affine et le flux de particules est conservé. La propagation d'une inhomogénéité sur une longueur $L$ prend un temps $\tau \sim L^2/D$.

Un parfum traverse une pièce en quelques secondes grâce à la **convection**, pas par diffusion ($\tau \sim 1/10^{-5}=10^5$ s pour 1 m). La diffusion dans les solides n'est efficace qu'à haute température (cémentation de l'acier, dopage du silicium) car $D$ suit une loi d'Arrhenius.

La loi de Fourier ${\vec{j}}_Q=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$ ($\lambda$ en W·m⁻¹·K⁻¹ : cuivre 400, verre 1, air 0,025) et le bilan d'énergie interne donnent l'équation de la chaleur $\rho c{\partial }_{t}T=\lambda \Delta T+p$, de diffusivité $D_{th}=\lambda /(\rho c)$ (m²·s⁻¹). En régime stationnaire sans source, le flux thermique $\Phi$ est conservé et l'on définit la résistance thermique $R_{th}=(T_1-T_2)/\Phi$ : $e/(\lambda S)$ pour un mur plan, $\ln (R_2/R_1)/(2\pi \lambda L)$ pour un cylindre creux. Les résistances s'associent en série et en parallèle comme en électricité ; à une interface solide-fluide, la loi de Newton $j_Q=h(T_s-T_f)$ ajoute une résistance $1/(hS)$.

Les trois lois sont **linéaires**, avec un signe $-$ qui exprime l'**irréversibilité** : le transport tend à uniformiser le potentiel, la concentration ou la température, et crée de l'entropie. Les équations de diffusion (Fick, Fourier) sont du premier ordre en temps et du second ordre en espace : elles ne sont pas invariantes par $t\to -t$, et le temps caractéristique croît comme $L^2$. Différence notable : dans un conducteur, la neutralité se rétablit en un temps extrêmement court, de sorte qu'en pratique $\mathrm{div}\vec{j}=0$ et l'on n'utilise pas d'« équation de diffusion de la charge » ; la loi d'Ohm est cependant formellement identique à Fick et Fourier avec $V$ à la place de $n$ ou $T$, ce qui fonde l'analogie électrique des résistances thermiques.