Régime sinusoïdal forcé, résonance et filtrage linéaire

Le circuit RLC série libre vérifie $\ddot{u}+\frac{{\omega }_0}{Q}\dot{u}+{\omega }_0^{2}u=0$ avec ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ (pulsation propre) et $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{L{\omega }_0}{R}$ (facteur de qualité). L'équivalent mécanique est $m\ddot{x}+\alpha \dot{x}+kx=0$ avec ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ et $Q=\sqrt{km}/\alpha$.

Trois régimes selon le discriminant de l'équation caractéristique $r^2+\frac{{\omega }_0}{Q}r+{\omega }_0^2=0$ :

• $Q<1/2$ : apériodique (deux exponentielles décroissantes) ;
• $Q=1/2$ : critique (retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation) ;
• $Q>1/2$ : pseudo-périodique, $u(t)=A{e}^{-{\omega }_{0}t/(2Q)}\cos (\Omega t+\phi )$ avec $\Omega ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$. Le nombre d'oscillations visibles est de l'ordre de $Q$ ; la durée du régime transitoire est de l'ordre de $2Q/{\omega }_0$.

À un signal $x(t)=X_m\cos (\omega t+\phi )$ on associe $\underline{x}=X_m{e}^{j(\omega t+\phi )}$ et l'amplitude complexe $\underline{X}=X_m{e}^{j\phi }$. Dériver revient à multiplier par $j\omega$, intégrer à diviser par $j\omega$. Après disparition du transitoire, toutes les grandeurs oscillent à la pulsation $\omega$ de la source.

Impédances $\underline{Z}=\underline{U}/\underline{I}$ (convention récepteur) :

Les lois des circuits en continu (Kirchhoff, associations, diviseurs, Thévenin) se transposent avec les impédances complexes. Dans la bobine, $u$ est en avance de $\pi /2$ sur $i$ ; dans le condensateur, $u$ est en retard de $\pi /2$.