Cinétique chimique et enzymatique

Pour une réaction $\sum {\nu }_i{X}_i=0$ (coefficients ${\nu }_i$ négatifs pour les réactifs, positifs pour les produits) se déroulant à volume constant, la vitesse volumique est définie à partir de l'avancement $\xi$ :

$$v=\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{{\nu }_i}\frac{\mathrm{d}[X_i]}{\mathrm{d}t}$$

en mol·L⁻¹·s⁻¹. Pour $\mathrm{A}\to \mathrm{P}$, $v=-\frac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}[\mathrm{P}]}{\mathrm{d}t}$ ; pour $2\mathrm{A}\to \mathrm{P}$, $v=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}$. Graphiquement, $v$ est l'opposé de la pente de la courbe $[\mathrm{A}](t)$ divisée par le coefficient. Les facteurs cinétiques sont la concentration des réactifs, la température et la présence d'un catalyseur.

Une réaction admet un ordre si sa vitesse s'écrit $v=k[\mathrm{A}{]}^{\alpha }[\mathrm{B}{]}^{\beta }$ : $\alpha$ et $\beta$ sont les ordres partiels (déterminés expérimentalement, pas nécessairement égaux aux coefficients stœchiométriques), $\alpha +\beta$ l'ordre global et $k$ la constante de vitesse, dont l'unité dépend de l'ordre.

Le **temps de demi-réaction** $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié du réactif limitant a été consommée. Il est **indépendant de la concentration initiale** uniquement pour l'ordre 1 : c'est le cas de la décroissance radioactive, de l'élimination d'un médicament (demi-vie) ou de l'hydrolyse d'un ester en excès d'eau. Pour l'ordre 1, $[\mathrm{A}]$ est divisée par 2 à chaque $t_{1/2}$, donc divisée par $2^n$ après $n{t}_{1/2}$ ; la réaction est considérée terminée après environ $7t_{1/2}$ (99 %).

Si la réaction est $a\mathrm{A}\to$ produits, on a $-\frac{\mathrm{d}[\mathrm{A}]}{\mathrm{d}t}=ak[\mathrm{A}{]}^n$ : les lois précédentes s'appliquent avec $k_{\text{app}}=ak$.

Dégénérescence de l'ordre : si $\mathrm{B}$ est en large excès (ou si c'est le solvant), $[\mathrm{B}]\approx [\mathrm{B}{]}_0$ et $v=k_{\text{app}}[\mathrm{A}{]}^{\alpha }$ avec $k_{\text{app}}=k[\mathrm{B}{]}_0^{\beta }$ : on détermine les ordres partiels un à un (méthode d'isolement d'Ostwald). La méthode des vitesses initiales consiste à mesurer $v_0$ pour plusieurs $[\mathrm{A}{]}_0$ : la pente de $\ln v_0$ en fonction de $\ln [\mathrm{A}{]}_0$ donne $\alpha$.

La constante de vitesse augmente avec la température selon :

$$k=A\exp \left(-\frac{E_a}{RT}\right)\text{soit}\ln k=\ln A-\frac{E_a}{RT}$$

avec $E_a$ l'énergie d'activation (J·mol⁻¹, typiquement 20 à 200 kJ·mol⁻¹), $A$ le facteur préexponentiel (même unité que $k$), $R=8,314$ J·K⁻¹·mol⁻¹ et $T$ en kelvin. Le tracé de $\ln k$ en fonction de $1/T$ est une droite de pente $-E_a/R$. Entre deux températures : $\ln \frac{k_2}{k_1}=\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)$. Ordre de grandeur : pour $E_a\approx 50$ kJ·mol⁻¹, $k$ double environ tous les 10 °C autour de 300 K. Cette loi justifie la trempe (blocage d'une réaction par refroidissement brutal) et le chauffage à reflux pour accélérer une synthèse.

Un catalyseur est une espèce qui accélère une réaction thermodynamiquement possible sans apparaître dans le bilan (consommé puis régénéré). Il ouvre un nouveau chemin réactionnel d'énergie d'activation plus faible ; il ne modifie ni l'état d'équilibre ni la constante d'équilibre, il accélère de la même façon les réactions directe et inverse. La catalyse est homogène (catalyseur et réactifs dans la même phase : ${\mathrm{H}}^{+}$ dans l'estérification), hétérogène (platine solide pour l'hydrogénation, l'activité dépend de la surface) ou enzymatique. Les enzymes, catalyseurs protéiques, sont remarquables par leur spécificité (de substrat et de réaction, liée au site actif) et leur efficacité à température et pH physiologiques ; leur activité passe par un optimum de température et de pH, au-delà duquel la dénaturation les inactive.

Le mécanisme minimal comporte la formation réversible d'un complexe enzyme-substrat puis sa transformation :

$$\mathrm{E}+\mathrm{S}\underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\rightleftharpoons }}\mathrm{ES}\stackrel{k_2}{⟶}\mathrm{E}+\mathrm{P}$$

En appliquant l'approximation de l'état quasi stationnaire au complexe $\mathrm{ES}$ ($\mathrm{d}[\mathrm{ES}]/\mathrm{d}t\approx 0$) et la conservation de l'enzyme $[\mathrm{E}{]}_0=[\mathrm{E}]+[\mathrm{ES}]$, on obtient la vitesse initiale :

$$v=\frac{V_{\max }[\mathrm{S}]}{K_M+[\mathrm{S}]},V_{\max }=k_2[\mathrm{E}{]}_0,K_M=\frac{k_{-1}+k_2}{k_1}.$$

• $V_{\max }$ (mol·L⁻¹·s⁻¹) est la vitesse limite atteinte quand toute l'enzyme est saturée en substrat ; elle est proportionnelle à $[\mathrm{E}{]}_0$. $k_2=k_{\text{cat}}$ (s⁻¹) est la constante catalytique ou nombre de rotation.
• $K_M$ (mol·L⁻¹), constante de Michaelis, est la concentration en substrat pour laquelle $v=V_{\max }/2$. Un $K_M$ faible traduit une forte affinité apparente de l'enzyme pour son substrat. Ordres de grandeur : $10^{-6}$ à $10^{-2}$ mol·L⁻¹.
• Si $[\mathrm{S}]\ll K_M$ : $v\approx \frac{V_{\max }}{K_M}[\mathrm{S}]$, ordre 1 par rapport au substrat ; le rapport $k_{\text{cat}}/K_M$ mesure l'efficacité catalytique. Si $[\mathrm{S}]\gg K_M$ : $v\approx V_{\max }$, ordre 0 (saturation, plateau).

La courbe $v=f([\mathrm{S}])$ est une hyperbole qui tend vers $V_{\max }$ sans l'atteindre, ce qui rend la lecture directe de $V_{\max }$ et $K_M$ imprécise. On utilise la représentation de Lineweaver-Burk (double inverse) :

$$\frac{1}{v}=\frac{K_M}{V_{\max }}\cdot \frac{1}{[\mathrm{S}]}+\frac{1}{V_{\max }}$$

droite de pente $K_M/V_{\max }$, d'ordonnée à l'origine $1/V_{\max }$ et d'abscisse à l'origine $-1/K_M$.

Un inhibiteur ralentit la réaction. S'il est réversible, on distingue trois cas selon l'espèce à laquelle il se fixe (constante de dissociation $K_I$, facteur $\lambda =1+[\mathrm{I}]/K_I$) :

Une inhibition compétitive est **levée par excès de substrat** (le substrat déplace l'inhibiteur), pas une inhibition non compétitive. Les inhibiteurs **irréversibles** (liaison covalente au site actif, comme les organophosphorés sur l'acétylcholinestérase) diminuent la quantité d'enzyme active, donc $V_{\max }$. La **rétro-inhibition** par le produit final d'une voie métabolique est un mécanisme de régulation courant.