Algèbre linéaire : l'essentiel pour la B/L

L'algèbre linéaire est omniprésente dans les sujets de mathématiques de la B/L : calcul de puissances de matrices, suites récurrentes couplées, chaînes de Markov, résolution de systèmes. Les correcteurs attendent moins de virtuosité théorique que des méthodes sûres et bien rédigées.

Les espaces de référence sont ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Un sous-espace vectoriel $F$ contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire : pour tous $u,v\in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda u+v\in F$.

Deux méthodes pour montrer qu'un ensemble est un sous-espace :

• la vérification directe (contient 0, stable par $\lambda u+v$) ;
• l'écriture sous la forme $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$, qui donne en plus une famille génératrice.

Piège classique : l'ensemble des solutions d'un système avec second membre non nul n'est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas 0). Seuls les systèmes homogènes définissent des sous-espaces.

Définitions

• $(u_1,\dots ,u_p)$ est libre si $\sum {\lambda }_i{u}_i=0\Rightarrow$ tous les ${\lambda }_i$ sont nuls.
• Elle est génératrice de $E$ si $E=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$.
• Une base est une famille libre et génératrice ; tout vecteur s'y décompose de façon unique, ce qui définit ses coordonnées.

Dimension

Toutes les bases d'un espace de dimension finie ont le même nombre de vecteurs : c'est la dimension. On retient $\dim {\mathbb{R}}^n=n$ et $\dim {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})=np$. En dimension $n$ :

• une famille libre a au plus $n$ vecteurs ;
• une famille génératrice a au moins $n$ vecteurs ;
• une famille de exactement $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre ou génératrice.

Ce dernier point est l'argument le plus rentable en concours : pour montrer qu'une famille de 3 vecteurs de ${\mathbb{R}}^3$ est une base, il suffit de prouver sa liberté.

Méthode : base d'un sous-espace défini par équations

Pour $F=\{(x,y,z)\mid x-2y+z=0\}$, on exprime $x=2y-z$ et on factorise par les paramètres : $(x,y,z)=y(2,1,0)+z(-1,0,1)$. Les deux vecteurs obtenus sont générateurs par construction et libres car non colinéaires, donc $\dim F=2$.

Le produit $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$, avec $(AB{)}_{ij}={\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}$.

Les erreurs les plus fréquentes viennent de la non-commutativité :

• $AB\ne BA$ en général, donc $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ ;
• $AB=0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$ ;
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ et $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (ordre inversé).

La formule du binôme $(A+B{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})A^k{B}^{n-k}$ n'est valable que si $AB=BA$. Exemple type : $M=I+N$ avec $N^2=0$ donne $M^n=I+nN$ pour tout $n\ge 1$.

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX=B$. La méthode du pivot de Gauss le transforme en système échelonné par des opérations élémentaires :

• échange de deux lignes ;
• multiplication d'une ligne par un réel non nul ;
• ajout à une ligne d'un multiple d'une autre ligne.

Ces opérations conservent l'ensemble des solutions. L'ensemble des solutions est soit vide, soit de la forme $X_0+{\mathcal{S}}_0$ (solution particulière plus solutions du système homogène) : un système a donc 0, 1 ou une infinité de solutions.

Conseil de rédaction : noter chaque opération ($L_2\leftarrow L_2-2L_1$) en marge ; c'est exigé par les correcteurs et cela évite les erreurs de calcul. Avec un paramètre $\lambda$, ne jamais diviser par une expression en $\lambda$ sans distinguer le cas où elle s'annule.

Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre ; le rang d'une matrice est celui de ses colonnes, égal à celui de ses lignes. En pratique, on échelonne et on compte les pivots non nuls.

Le théorème du rang relie les objets : pour $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$,

$p=\dim \{X\mid AX=0\}+\mathrm{rg}(A)$.

Ainsi, pour une matrice carrée d'ordre $n$, $\mathrm{rg}(A)=n$ équivaut à : le système homogène n'a que la solution nulle.

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible s'il existe $B$ avec $AB=I_n$ (l'égalité $BA=I_n$ en découle en dimension finie). Critères équivalents : $\mathrm{rg}(A)=n$, colonnes libres, $AX=0\Rightarrow X=0$.

Trois méthodes de calcul

1. 1Cas $2\times 2$ : $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ si $ad-bc\ne 0$.
2. 2Gauss-Jordan : on transforme $(A\mid I_n)$ en $(I_n\mid A^{-1})$, ou on résout $AX=Y$ pour lire $X=A^{-1}Y$.
3. 3Polynôme annulateur : si $A^2-3A+2I=0$, alors $A\cdot \frac{1}{2}(3I-A)=I$. Il faut que le coefficient constant soit non nul.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls : réflexe à avoir avant tout calcul.

Une application linéaire $f$ de ${\mathbb{R}}^p$ dans ${\mathbb{R}}^n$ s'écrit $f(X)=AX$, où la $j$-ème colonne de $A$ contient $f(e_j)$. Son noyau et son image sont des sous-espaces ; $f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}f=\{0\}$.

Si $P$ est la matrice de passage vers une nouvelle base, la matrice de $f$ devient $P^{-1}AP$. Lorsque cette nouvelle matrice est diagonale $D$, on a $A=PD{P}^{-1}$ et donc $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$.

Un réel $\lambda$ est valeur propre si $A-\lambda I$ n'est pas inversible ; on résout alors $(A-\lambda I)X=0$ pour obtenir les vecteurs propres. Une matrice d'ordre $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Pour $u_{n+1}=a{u}_n+b{v}_n$, $v_{n+1}=c{u}_n+d{v}_n$ :

1. 1poser $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ et écrire $X_{n+1}=A{X}_n$ ;
2. 2montrer par récurrence que $X_n=A^n{X}_0$ ;
3. 3calculer $A^n$ (diagonalisation ou binôme) ;
4. 4lire $u_n$ et $v_n$, puis étudier leur limite.

• En dimension $n$, $n$ vecteurs libres forment une base.
• Pas de commutativité : binôme seulement si $AB=BA$.
• Le pivot de Gauss résout systèmes, rang et inversion avec une seule technique.
• Théorème du rang : $p=\dim \mathrm{Ker}+\mathrm{rg}$.
• $A=PD{P}^{-1}\Rightarrow A^n=P{D}^n{P}^{-1}$.