Polynômes et fractions rationnelles

Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Un polynôme est une suite finie de coefficients ; on le manipule comme une expression formelle $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{X}^k$, distincte de la fonction polynomiale $x\mapsto P(x)$ (même si sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ les deux points de vue coïncident).

Degré

Le degré de $P\ne 0$ est le plus grand indice $k$ tel que $a_k\ne 0$ ; $a_n$ est le coefficient dominant, $P$ est unitaire si $a_n=1$. Par convention $\mathrm{deg}0=-\infty$.

La formule du produit montre que $\mathbb{K}[X]$ est **intègre** et que les inversibles sont les constantes non nulles.

Division euclidienne

On dit que $B$ divise $A$ si $R=0$. Cas essentiel : le reste de la division de $P$ par $X-a$ est $P(a)$.

$a$ est racine de $P$ si $P(a)=0$, ce qui équivaut à $(X-a)\mid P$. Elle est de multiplicité $m$ si $(X-a{)}^m\mid P$ et $(X-a{)}^{m+1}\nmid P$.

Cette caractérisation repose sur la formule de Taylor polynomiale, exacte : $P={\sum }_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a{)}^k$.

Conséquences très utilisées :

• un polynôme de degré $\le n$ ayant $n+1$ racines distinctes est nul ;
• un polynôme ayant une infinité de racines est nul ;
• deux polynômes de degré $\le n$ qui coïncident en $n+1$ points sont égaux.

Par récurrence, tout $P\in \mathbb{C}[X]$ de degré $n\ge 1$ est scindé : $P=\lambda {\prod }_{i=1}^n(X-a_i)$. Les irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré 1.

Passage à $\mathbb{R}[X]$

Si $P$ est à coefficients réels, $P(\bar{z})=\overline{P(z)}$ : les racines non réelles vont par paires conjuguées, avec la même multiplicité. En regroupant $(X-z)(X-\bar{z})=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+|z{|}^2$, on obtient :

Les irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont donc les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant strictement négatif. Un polynôme réel de degré impair a toujours une racine réelle.

Exemple classique. $X^n-1={\prod }_{k=0}^{n-1}(X-{\omega }^k)$ avec $\omega =e^{2i\pi /n}$. Dans $\mathbb{R}[X]$, on regroupe ${\omega }^k$ et ${\omega }^{n-k}$ : $X^2-2\cos \frac{2k\pi }{n}X+1$.

Relations coefficients-racines

Si $P=a_n{X}^n+\cdots +a_0$ est scindé de racines $x_1,\dots ,x_n$, les fonctions symétriques élémentaires vérifient ${\sigma }_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$. En pratique on retient surtout :

• $x_1+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ;
• $x_1\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$ ;
• pour le degré 2 : somme $-b/a$, produit $c/a$.

L'arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est calquée sur celle de $\mathbb{Z}$, le rôle des nombres premiers étant joué par les irréductibles.

• PGCD : unique diviseur commun unitaire que tous les diviseurs communs divisent ; calcul par l'algorithme d'Euclide (dernier reste non nul, rendu unitaire).
• Bézout : $A\wedge B=1⟺\exists U,V,AU+BV=1$.
• Gauss : si $A\mid BC$ et $A\wedge B=1$, alors $A\mid C$.
• Dans $\mathbb{C}[X]$, $A\wedge B=1$ si et seulement si $A$ et $B$ n'ont aucune racine commune.

Une fraction rationnelle $F=P/Q$ s'écrit de façon unique sous forme irréductible ($P\wedge Q=1$, $Q$ unitaire). Ses pôles sont les racines de $Q$, son degré est $\mathrm{deg}P-\mathrm{deg}Q$. La partie entière $E$ est le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$ ; elle est nulle si $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$.

Dans $\mathbb{R}(X)$, on ajoute des éléments de seconde espèce $\frac{\alpha X+\beta }{(X^2+bX+c{)}^k}$ pour chaque facteur irréductible de degré 2.

Calcul pratique des coefficients

1. 1Calculer la partie entière si $\mathrm{deg}P\ge \mathrm{deg}Q$.
2. 2Pour un pôle simple $a$ : $\lambda =\frac{P(a)}{\tilde{Q}(a)}$ où $Q=(X-a)\tilde{Q}$, ou encore $\lambda =\frac{P(a)}{Q^{\prime }(a)}$.
3. 3Pour un pôle multiple d'ordre $m$ : le coefficient de $\frac{1}{(X-a{)}^m}$ s'obtient en multipliant par $(X-a{)}^m$ et en évaluant en $a$ ; les autres par identification, parité, ou passage à la limite de $xF(x)$ en $+\infty$.
4. 4Vérifier avec une valeur particulière.

Exemples à connaître. $\frac{1}{X(X+1)}=\frac{1}{X}-\frac{1}{X+1}$ (sommes télescopiques), $\frac{1}{X^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{X-1}-\frac{1}{X+1}\right)$, $\frac{1}{X^n-1}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\frac{{\omega }^k}{X-{\omega }^k}$ via ${\lambda }_k=\frac{1}{n{\omega }^{k(n-1)}}=\frac{{\omega }^k}{n}$.

• Montrer qu'un polynôme est nul : exhiber plus de racines que son degré, ou une infinité de racines.
• Déterminer tous les polynômes vérifiant une relation (ex. $P(X^2)=P(X)P(X+1)$) : raisonner sur le degré, puis sur les racines (si $a$ est racine, $a^2$ l'est aussi, donc $|a|\in \{0,1\}$ sous peine d'avoir une infinité de racines).
• Multiplicité : utiliser les dérivées ; pour montrer que $(X-1{)}^2$ divise $P$, vérifier $P(1)=P^{\prime }(1)=0$.
• Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ : d'abord dans $\mathbb{C}[X]$, puis regrouper les conjuguées.
• Décomposer en éléments simples : partie entière, pôles simples par la formule $P(a)/Q^{\prime }(a)$, puis identification ; ne jamais oublier de vérifier.
• Primitives de fractions rationnelles : passer par la décomposition en éléments simples ; les termes $\frac{\lambda }{X-a}$ donnent des logarithmes, les $\frac{1}{(X-a{)}^k}$ des puissances, les éléments de seconde espèce des $\arctan$ après mise sous forme canonique.