Sommes, produits et denombrement
Symboles Σ et Π, identités remarquables, binôme de Newton, arrangements, combinaisons et permutations.
Introduction
Ce chapitre regroupe les outils de calcul combinatoire et de manipulation de sommes, indispensables en probabilités et en algèbre. Le binôme de Newton et les coefficients binomiaux reviennent très fréquemment aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Symbole Σ — Σᵢ₌ₚⁿ aᵢ = aₚ + aₚ₊₁ + … + aₙ.
Définition : Symbole Π — Πᵢ₌ₚⁿ aᵢ = aₚ × aₚ₊₁ × … × aₙ.
Définition : Factorielle — n! = 1 × 2 × … × n, avec 0! = 1.
Définition : Coefficient binomial — C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) = nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Binôme de Newton
(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ C(n,k) · aᵏ · bⁿ⁻ᵏ
A retenir
: En posant a = b = 1, on obtient Σₖ₌₀ⁿ C(n,k) = 2ⁿ.
Triangle de Pascal
C(n+1, k+1) = C(n, k) + C(n, k+1)
Formule du complémentaire
C(n, k) = C(n, n−k)
Formules clés
| Formule | Expression |
|---|---|
| Somme des entiers | Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2 |
| Somme des carrés | Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6 |
| Somme géométrique | Σₖ₌₀ⁿ qᵏ = (1−qⁿ⁺¹)/(1−q) |
| Permutations | n! (ordres possibles de n objets) |
| Arrangements | Aₙᵖ = n!/(n−p)! |
| Combinaisons | C(n,p) = n!/(p!(n−p)!) |
Méthodes types
Méthode : Calculer une somme télescopique
- 1Écrire aₖ = f(k+1) − f(k) pour une fonction f adaptée
- 2Sommer : Σₖ₌₀ⁿ aₖ = f(n+1) − f(0)
Méthode : Problème de dénombrement
- 1Identifier si l'ordre compte (arrangement vs combinaison)
- 2Identifier si la répétition est autorisée
- 3Choisir la formule adaptée
- 4Vérifier avec un cas petit si possible
Pièges classiques
- Ne pas confondre arrangement (ordre compte) et combinaison (ordre ne compte pas)
- Attention aux doubles comptages en dénombrement
- Ne pas oublier que 0! = 1 et C(n,0) = 1
- Bien vérifier les indices de sommation (début et fin)
Pour aller plus loin
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