Raisonnements et logique
Les modes de raisonnement mathématique : récurrence, contraposée, absurde, quantificateurs et logique.
Introduction
La logique mathématique est le socle de tout raisonnement rigoureux. Maîtriser les modes de preuve (récurrence, contraposée, absurde) est indispensable pour rédiger correctement aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Proposition — Énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux.
Définition : Quantificateur universel ∀ — « Pour tout ». ∀x ∈ E, P(x) signifie que P est vraie pour tout élément de E.
Définition : Quantificateur existentiel ∃ — « Il existe ». ∃x ∈ E, P(x) signifie qu'il existe au moins un élément de E vérifiant P.
Définition : Négation — La négation de ∀x, P(x) est ∃x, ¬P(x). La négation de ∃x, P(x) est ∀x, ¬P(x).
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Récurrence simple
Pour prouver P(n) pour tout n ≥ n₀ :
- 1Initialisation : vérifier P(n₀)
- 2Hérédité : montrer P(n) ⟹ P(n+1)
A retenir
: Ne jamais oublier l'initialisation ! C'est l'erreur la plus sanctionnée.
Récurrence forte (ou complète)
Hypothèse : on suppose P(n₀), P(n₀+1), …, P(n) toutes vraies, et on montre P(n+1).
Raisonnement par contraposée
Pour prouver A ⟹ B, on prouve ¬B ⟹ ¬A (logiquement équivalent).
Raisonnement par l'absurde
On suppose ¬P et on aboutit à une contradiction, ce qui prouve P.
Analyse-synthèse
- 1Analyse : on suppose le résultat vrai et on en déduit les conséquences
- 2Synthèse : on vérifie que le candidat trouvé convient
Formules clés
| Connecteur | Notation | Négation |
|---|---|---|
| ET | P ∧ Q | ¬P ∨ ¬Q |
| OU | P ∨ Q | ¬P ∧ ¬Q |
| Implication | P ⟹ Q | P ∧ ¬Q |
| Équivalence | P ⟺ Q | (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q) |
Méthodes types
Méthode : Rédiger une récurrence
- 1Écrire « Soit P(n) la propriété : … »
- 2Initialisation : « Pour n = n₀, … donc P(n₀) est vraie »
- 3Hérédité : « Soit n ≥ n₀ fixé. Supposons P(n) vraie. Montrons P(n+1). … »
- 4Conclusion : « Par principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ »
Méthode : Nier un énoncé quantifié
Pour nier ∀x ∈ E, ∃y ∈ F, P(x,y) : on obtient ∃x ∈ E, ∀y ∈ F, ¬P(x,y).
Pièges classiques
- Oublier l'initialisation de la récurrence
- Confondre l'implication et l'équivalence (P ⟹ Q n'est pas P ⟺ Q)
- Mal nier un énoncé avec quantificateurs (∀ et ∃ s'échangent)
- Dans un raisonnement par analyse-synthèse, ne pas oublier la synthèse
Pour aller plus loin
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