Nombres complexes

Le corps $\mathbb{C}$ est l'un des outils les plus utilisés de toute la prépa : trigonométrie, polynômes, équations différentielles, séries de Fourier en physique… Ce chapitre fixe le vocabulaire (module, argument, conjugué), les deux formules fondamentales (Euler et Moivre), la résolution des équations $z^n=a$ et $a{z}^2+bz+c=0$, et le dictionnaire entre complexes et géométrie plane.

Forme algébrique

Tout $z\in \mathbb{C}$ s'écrit de façon unique $z=a+ib$ avec $a=\mathrm{Re}(z)$ et $b=\mathrm{Im}(z)$ réels. Le conjugué est $\bar{z}=a-ib$, le module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar{z}}$.

Propriétés du conjugué : $\overline{z+z^{\prime }}=\bar{z}+{\bar{z}}^{\prime }$, $\overline{z{z}^{\prime }}=\bar{z}{\bar{z}}^{\prime }$, $\overline{1/z}=1/\bar{z}$. On a $\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$, $\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ ; $z$ est réel ssi $z=\bar{z}$, imaginaire pur ssi $z=-\bar{z}$.

Propriétés du module : $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$, $|z^n|=|z{|}^n$, $|\bar{z}|=|z|$, et l'inégalité triangulaire $|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|$ avec égalité ssi $z=0$ ou $z^{\prime }\in {\mathbb{R}}_{+}z$. On en déduit $||z|-|z^{\prime }||\le |z-z^{\prime }|$.

Forme trigonométrique et exponentielle

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$. Tout complexe non nul s'écrit $z=r{e}^{i\theta }$ avec $r=|z|>0$ et $\theta$ un argument de $z$, défini modulo $2\pi$. L'argument principal est celui de $]-\pi ,\pi ]$.

> **Piège :** $0$ n'a pas d'argument. Et l'égalité $\arg (z{z}^{\prime })=\arg z+\arg z^{\prime }$ n'a de sens que modulo $2\pi$ : on écrit toujours $\equiv$ et $[2\pi ]$.

Exponentielle complexe

Pour $z=x+iy$, $e^z=e^x{e}^{iy}$. Alors $|e^z|=e^{\mathrm{Re}z}$, $e^{z+z^{\prime }}=e^z{e}^{z^{\prime }}$, $e^z\ne 0$, et $e^z=e^{z^{\prime }}⟺z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z}$. L'exponentielle est surjective de $\mathbb{C}$ sur ${\mathbb{C}}^{\ast }$ mais pas injective.

Formules d'Euler et de Moivre

• Euler : $\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$, $\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$.
• Moivre : $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$ pour $n\in \mathbb{Z}$.

Technique de l'angle moitié

$e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{a-b}{2}}+e^{-i\frac{a-b}{2}}\right)=2\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}}$. Cas particuliers : $1+e^{i\theta }=2\cos (\theta /2)e^{i\theta /2}$ et $1-e^{i\theta }=-2i\sin (\theta /2)e^{i\theta /2}$.

Application : pour $\theta \not\equiv 0[2\pi ]$, ${\sum }_{k=0}^n{e}^{ik\theta }=\frac{1-e^{i(n+1)\theta }}{1-e^{i\theta }}$, d'où ${\sum }_{k=0}^n\cos (k\theta )=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\cos \frac{n\theta }{2}$.

Racines $n$-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n=1$ sont les $n$ complexes ${\omega }_k=e^{2ik\pi /n}$, $0\le k\le n-1$. L'ensemble ${\mathbb{U}}_n$ est un groupe multiplicatif engendré par ${\omega }_1$. Pour $n\ge 2$, ${\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_k=0$. Avec $j=e^{2i\pi /3}$ : $j^3=1$, $1+j+j^2=0$, $\bar{j}=j^2$.

Racines $n$-ièmes d'un complexe

Si $a=r{e}^{i\alpha }\ne 0$, les solutions de $z^n=a$ sont $r^{1/n}{e}^{i(\alpha +2k\pi )/n}$, $0\le k\le n-1$ : une solution particulière multipliée par les éléments de ${\mathbb{U}}_n$.

Racines carrées sous forme algébrique

Pour $z^2=a+ib$ avec $z=x+iy$ : $x^2-y^2=a$, $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$, et $2xy=b$ fixe le signe relatif de $x$ et $y$.

Second degré à coefficients complexes

Pour $a{z}^2+bz+c=0$ ($a\ne 0$) : $\Delta =b^2-4ac$, $\delta$ une racine carrée de $\Delta$, solutions $\frac{-b\pm \delta }{2a}$. Somme $-b/a$, produit $c/a$. Si les coefficients sont réels et $\Delta <0$, les racines sont conjuguées $\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}$.

On identifie le point $M(x,y)$ et son affixe $z=x+iy$.

• $|z_B-z_A|=AB$.
• Pour $A,B,C$ distincts : $\arg \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\equiv (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[2\pi ]$. Alignement ssi ce quotient est réel ; orthogonalité ssi imaginaire pur.
• Cercle de centre $\omega$ et rayon $R$ : $|z-\omega |=R$. Médiatrice de $[AB]$ : $|z-z_A|=|z-z_B|$.

Transformations

Une similitude directe $z\mapsto az+b$ a pour rapport $|a|$ et pour angle $\arg a$. Si $a\ne 1$, elle a un unique point fixe $\omega =\frac{b}{1-a}$ et s'écrit $z\mapsto \omega +a(z-\omega )$ : c'est la composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre. Si $a=1$, c'est une translation.

1. 1Résoudre $(z+1{)}^n=(z-1{)}^n$ : $z=1$ n'est pas solution, on divise, ${\left(\frac{z+1}{z-1}\right)}^n=1$, puis on inverse la relation $\frac{z+1}{z-1}={\omega }_k$ (angle moitié). Les solutions sont les $-i\mathrm{cotan}(k\pi /n)$, $1\le k\le n-1$.
2. 2Sur le cercle unité : remplacer $\bar{z}$ par $1/z$ pour transformer une condition en équation polynomiale.
3. 3Sommes trigonométriques : passer à $\sum e^{ik\theta }$, somme géométrique, angle moitié, puis partie réelle ou imaginaire.
4. 4Triangle équilatéral direct : $z_A+j{z}_B+j^2{z}_C=0$.
5. 5Majoration : $|\sum a_k\cos (k\theta )|\le |\sum a_k{e}^{ik\theta }|$ via $|\mathrm{Re}(w)|\le |w|$.

• $|z{|}^2=z\bar{z}$, inégalité triangulaire et son cas d'égalité.
• Euler pour linéariser, Moivre pour développer.
• $z^n=a$ a exactement $n$ solutions ; somme des racines $n$-ièmes de l'unité nulle.
• $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ : module = rapport de longueurs, argument = angle orienté.