Algèbre linéaire : systèmes, matrices, espaces vectoriels

L'algèbre linéaire irrigue tout le programme de BCPST : résolution de systèmes issus de la chimie (équilibrage, bilans), modèles matriciels de populations (matrices de Leslie), chaînes de Markov en probabilités. Le fil conducteur est simple : un système linéaire, une matrice et une application linéaire sont trois écritures d'un même objet. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence la plus évaluée.

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX=B$ avec $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{R})$. Il est homogène si $B=0$ et compatible s'il possède au moins une solution.

Opérations élémentaires

Trois opérations transforment un système en un système équivalent :

• échange de deux lignes $L_i\leftrightarrow L_j$ ;
• dilatation $L_i\leftarrow \alpha L_i$ avec $\alpha \ne 0$ ;
• transvection $L_i\leftarrow L_i+\beta L_j$ avec $j\ne i$.

Algorithme

On choisit un pivot non nul, on annule les coefficients situés sous lui, puis on itère sur le sous-système. On obtient un système échelonné. Le nombre de pivots est le rang $r$. Trois cas :

• une ligne $0=c$ avec $c\ne 0$ : système incompatible ;
• $r=p$ et le système est compatible : solution unique ;
• $r<p$ et le système est compatible : infinité de solutions paramétrées par les $p-r$ inconnues secondaires.

Exemple : $x+y+z=6$, $x-y+z=2$, $2x+y-z=1$. L'opération $L_1-L_2$ donne $2y=4$, donc $y=2$ ; puis $x+z=4$ et $2x-z=-1$ donnent $x=1$, $z=3$. On vérifie toujours la solution dans l'équation non utilisée : $2+2-3=1$.

Les solutions d'un système compatible s'écrivent $X_0+Y$, avec $X_0$ solution particulière et $Y$ solution du système homogène associé.

Produit

Pour $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}$ et $B\in {\mathcal{M}}_{p,q}$ : $(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}$. Le produit est associatif et distributif mais non commutatif, et il possède des diviseurs de zéro : $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ vérifie $N^2=0$ sans être nulle.

Transposée

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$. Une matrice est symétrique si $A^T=A$.

Puissances

Le binôme de Newton $(A+B{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})A^k{B}^{n-k}$ n'est valable que si $AB=BA$. Méthode type : écrire $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente ; par exemple ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Autres méthodes : récurrence après calcul des premières puissances, ou diagonalisation (en deuxième année).

$A$ carrée d'ordre $n$ est inversible s'il existe $B$ avec $AB=BA=I_n$. Pour une matrice carrée, une seule des deux égalités suffit.

Caractérisations équivalentes : $A$ inversible $⟺$ $AX=0\Rightarrow X=0$ $⟺$ $\mathrm{rg}(A)=n$ $⟺$ les colonnes de $A$ forment une base de ${\mathbb{R}}^n$.

Méthodes de calcul de l'inverse :

1. 1Taille 2 : ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ si $ad-bc\ne 0$.
2. 2Gauss-Jordan : réduire $(A\mid I_n)$ en $(I_n\mid A^{-1})$.
3. 3Résolution de $AX=Y$ : si l'on obtient $X$ en fonction de $Y$ pour tout $Y$, on lit $A^{-1}$.
4. 4Polynôme annulateur : si $A^2-3A+2I_n=0$, alors $A(3I_n-A)=2I_n$ et $A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_n-A)$.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Règles : $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ et $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$.

Sous-espaces vectoriels

$F$ est un sous-espace vectoriel s'il contient 0 et s'il est stable par combinaison linéaire. Les trois façons efficaces de le prouver : écrire $F=\mathrm{Vect}(\dots )$, reconnaître l'ensemble des solutions d'un système homogène, ou un noyau. Un ensemble défini par une équation non homogène ($x+y=1$) ou non linéaire ($xy=0$) n'en est pas un.

Familles libres, génératrices, bases

• Libre : la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale.
• Génératrice de $F$ : $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots ,u_p)$.
• Base : libre et génératrice ; chaque vecteur a des coordonnées uniques.

En pratique, la liberté se teste en résolvant le système homogène $\sum {\lambda }_i{u}_i=0$ : la famille est libre si et seulement si le rang de la matrice des vecteurs colonnes vaut $p$.

Dimension

Toutes les bases ont le même cardinal, la dimension ; $\dim {\mathbb{R}}^n=n$. Dans un espace de dimension $n$ :

Si $F\subset E$, $\dim F\le \dim E$ avec égalité si et seulement si $F=E$ : c'est l'outil standard pour montrer une égalité d'espaces à partir d'une inclusion.

$f:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^n$ est linéaire si $f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)$. Sa matrice dans les bases canoniques a pour colonnes les images $f(e_j)$ ; $y=f(x)$ s'écrit $Y=AX$ et la composée $g\circ f$ a pour matrice $BA$.

Noyau, image, rang

• $\mathrm{Ker}f=\{x,f(x)=0\}$ : se calcule en résolvant $AX=0$.
• $\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(f(e_1),\dots ,f(e_p))$ : engendrée par les colonnes de $A$.
• $\mathrm{rg}f=\dim \mathrm{Im}f=\mathrm{rg}A$ = nombre de pivots.

$f$ est injective si et seulement si $\mathrm{Ker}f=\{0\}$, surjective si et seulement si $\mathrm{rg}f=n$.

Théorème du rang

$\dim {\mathbb{R}}^p=\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rg}f$

Exemple : $f(x,y,z)=(x+y,y+z)$ est de rang 2, donc surjective, et son noyau est de dimension 1 : $\mathrm{Ker}f=\mathrm{Vect}((1,-1,1))$.

Pour un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^n$ (ou une matrice carrée), injectif $⟺$ surjectif $⟺$ bijectif $⟺$ rang $n$ : on ne démontre qu'une seule propriété.

• Toujours annoncer les opérations effectuées sur les lignes et vérifier la solution trouvée.
• Avant d'utiliser le binôme de Newton, justifier la commutation.
• Pour montrer qu'une famille est une base de ${\mathbb{R}}^n$, compter ses vecteurs : s'il y en a $n$, la liberté suffit.
• Ne pas confondre l'espace de départ (où vit le noyau) et l'espace d'arrivée (où vit l'image).
• Une application est linéaire seulement si elle envoie 0 sur 0 : une translation $x\mapsto x+b$ avec $b\ne 0$ ne l'est pas.
• En modélisation (Leslie, Markov), l'évolution $X_{n+1}=A{X}_n$ donne $X_n=A^n{X}_0$ : tout repose alors sur le calcul de $A^n$.