Polynomes
Degré, division euclidienne, racines, factorisation et relations coefficients-racines.
Introduction
L'étude des polynômes est un chapitre d'algèbre fondamental. Les techniques de factorisation et le lien racines-coefficients sont très utilisés en algèbre linéaire (polynôme caractéristique, Cayley-Hamilton).
Définitions essentielles
Définition : Polynôme — P(X) = aₙXⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀ avec aₙ ≠ 0. Le degré est n.
Définition : Racine — α est racine de P si P(α) = 0. La multiplicité de α est le plus grand k tel que (X−α)ᵏ divise P.
Définition : Polynôme irréductible — Polynôme de degré ≥ 1 non factorisable en produit de polynômes de degré inférieur.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Division euclidienne
Pour tout P et tout D ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que P = D·Q + R avec deg(R) < deg(D).
Théorème de d'Alembert (fondamental de l'algèbre)
Tout polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients complexes admet exactement n racines (comptées avec multiplicité).
A retenir
: Sur ℂ, tout polynôme se factorise entièrement en produit de facteurs de degré 1.
Relations coefficients-racines (Vieta)
Si P(X) = aₙ(X − x₁)(X − x₂)…(X − xₙ), alors :
- x₁ + x₂ + … + xₙ = −aₙ₋₁/aₙ
- x₁·x₂·…·xₙ = (−1)ⁿ·a₀/aₙ
Cas du degré 2
ax² + bx + c = 0 : Δ = b² − 4ac, racines x = (−b ± √Δ)/(2a).
Formules clés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| deg(P·Q) | deg(P) + deg(Q) |
| deg(P+Q) | ≤ max(deg P, deg Q) |
| Nombre de racines | ≤ deg(P) |
| P(α) = 0 | ⟺ (X−α) divise P |
| Racines conjuguées | Si P ∈ ℝ[X] et z ∈ ℂ est racine, alors z̄ aussi |
Méthodes types
Méthode : Factoriser un polynôme
- 1Chercher les racines évidentes (0, 1, −1, etc.)
- 2Effectuer la division euclidienne par (X − racine)
- 3Recommencer sur le quotient
- 4Utiliser le discriminant pour les facteurs de degré 2
Méthode : Décomposition en éléments simples (introduction)
- 1Factoriser le dénominateur
- 2Écrire la décomposition avec des constantes indéterminées
- 3Identifier les constantes (valeurs remarquables ou développement)
Pièges classiques
- Sur ℝ, un polynôme peut avoir moins de racines que son degré (ex : X² + 1)
- Ne pas confondre polynôme et fonction polynomiale
- deg(P + Q) peut être strictement inférieur à max(deg P, deg Q) si les termes dominants s'annulent
- Les relations de Vieta donnent des sommes symétriques, pas les racines individuelles
Pour aller plus loin
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