Analyse asymptotique : comparaison et développements limités

Soient $f,g$ définies au voisinage de $a$ (réel ou infini), $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $a$ sauf éventuellement en $a$.

Les mêmes définitions valent pour les suites (voisinage de $+\infty$).

Règles de calcul avec les équivalents

• Autorisé : produit, quotient, valeur absolue, puissance à exposant fixe (fonctions positives), passage à la limite ($f\sim g$ et $g\to \ell$ ⟹ $f\to \ell$), conservation du signe.
• Interdit : somme ($x+1\sim x$ et $-x\sim -x+2$ ne s'additionnent pas), composition par $\exp$ ($e^{x+1}\nsim e^x$), par $\ln$ sans précaution, dérivation, intégration.
• $e^f\sim e^g⟺f-g\to 0$. Si $f\sim g$ et $g\to \ell \in \{0^{+},+\infty \}\cup {\mathbb{R}}^{+\ast }\setminus \{1\}$, alors $\ln f\sim \ln g$.

Équivalents usuels en 0 : $\sin x\sim x$, $\tan x\sim x$, $\arctan x\sim x$, $\mathrm{sh}x\sim x$, $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$, $\ln (1+x)\sim x$, $e^x-1\sim x$, $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$.

Croissances comparées en $+\infty$ ($\alpha ,\beta >0$) : $(\ln x{)}^{\beta }=o(x^{\alpha })$ et $x^{\alpha }=o(e^{\beta x})$.

Définition et unicité

$f$ admet un DL d'ordre $n$ en $a$ s'il existe des réels $a_0,\dots ,a_n$ tels que $f(a+h)=a_0+a_{1}h+\cdots +a_n{h}^n+o(h^n)$ quand $h\to 0$. La partie régulière est unique. Un DL d'ordre 0 équivaut à la continuité en $a$, un DL d'ordre 1 à la dérivabilité en $a$ ($a_1=f^{\prime }(a)$) ; au-delà, l'existence d'un DL n'implique pas celle des dérivées supérieures.

Si $f$ est paire (resp. impaire), sa partie régulière en 0 ne contient que des puissances paires (resp. impaires) : excellent moyen de contrôle.

Formule de Taylor-Young