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Mathématiquesmpsi8 min de lectureLecture libre

Séries entières

2e année MP · Lemme d'Abel, rayon de convergence et ses méthodes de calcul, opérations, régularité de la somme, développements usuels et résolution d'équations différentielles par séries entières.

📋

1. Rayon de convergence

Une série entière est une série de fonctions $\sum a_{n} z^{n}$ avec $(a_{n}) \in C^{N}$ . Tout repose sur un résultat élémentaire.

Lemme d'Abel : si la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée, alors $\sum a_{n} z^{n}$ converge absolument pour tout $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ . En effet $∣ a_{n} z^{n} ∣ \leq M \frac{z}{z _{0}}^{n}$ .

On définit le rayon de convergence $R = sup {r \geq 0 : (a_{n} r^{n}) born \overset{e}{ˊ} e} \in [0, + \infty]$ . Alors :

pour $∣ z ∣ < R$ , la série converge absolument ;
pour $∣ z ∣ > R$ , la suite $(a_{n} z^{n})$ n'est pas bornée : divergence grossière ;
pour $∣ z ∣ = R$ , aucune règle générale : $\sum z^{n}$ diverge en tout point du cercle unité, $\sum \frac{z ^{n}}{n ^{2}}$ y converge partout, $\sum \frac{z ^{n}}{n}$ diverge en 1 et converge en $- 1$ .

Méthodes de calcul

1Règle de d'Alembert : si $a_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang et $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \to ℓ$ , alors $R = \frac{1}{ℓ}$ . Pour une série lacunaire ( $\sum a_{n} z^{2 n}$ , $\sum z^{n^{2}}$ ...), on applique d'Alembert à la série numérique $\sum ∣ a_{n} z^{2 n} ∣$ à $z$ fixé.
2Comparaison : si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ ; si $a_{n} \sim b_{n}$ , alors $R_{a} = R_{b}$ . Multiplier les coefficients par $n^{α}$ ne change pas le rayon.
3Étude en un point : la convergence de $\sum a_{n} z_{0}^{n}$ donne $R \geq ∣ z_{0} ∣$ , sa divergence donne $R \leq ∣ z_{0} ∣$ . Si la convergence en $z_{0}$ n'est pas absolue, $R = ∣ z_{0} ∣$ .
4Bornitude : si $(a_{n})$ est bornée et ne tend pas vers 0, alors $R = 1$ (cas de $\sum cos (n) z^{n}$ ).

Piège : d'Alembert ne s'applique pas lorsque une infinité de coefficients sont nuls, et ne conclut pas si le rapport n'a pas de limite. Ne jamais écrire $R = lim \frac{a _{n}}{a _{n + 1}}$ sans avoir justifié l'existence de cette limite.

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2. Opérations

Somme : $R_{a + b} \geq min (R_{a}, R_{b})$ , avec égalité si $R_{a} \neq = R_{b}$ .
Produit de Cauchy : avec $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , on a $R_{c} \geq min (R_{a}, R_{b})$ et $\sum c_{n} z^{n} = (\sum a_{n} z^{n}) (\sum b_{n} z^{n})$ sur le plus petit disque. C'est ainsi qu'on prouve $e^{z + w} = e^{z} e^{w}$ .
Substitution $z \mapsto z^{2}$ : le rayon de $\sum a_{n} z^{2 n}$ est $R$ .

📋

3. Régularité de la somme

La série converge normalement sur tout disque fermé $\overline{D} (0, r)$ avec $r < R$ , mais pas nécessairement sur le disque ouvert. On en déduit :

Continuité : la somme est continue sur le disque ouvert $D (0, R)$ .
Dérivation (variable réelle) : $f (x) = \sum a_{n} x^{n}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - R, R [$ , ses dérivées s'obtiennent terme à terme et les séries dérivées ont le même rayon $R$ .
Intégration : $\int_{0}^{x} f (t) d t = \sum \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ pour $∣ x ∣ < R$ .
Coefficients : $a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ . D'où l'unicité : deux séries entières de même somme sur un voisinage $] - r, r [$ de 0 ont les mêmes coefficients. Une somme paire n'a que des coefficients d'indices pairs.

Théorème radial d'Abel (classique, à redémontrer) : si $\sum a_{n} R^{n}$ converge, alors $\sum a_{n} x^{n} \to \sum a_{n} R^{n}$ quand $x \to R^{-}$ . Il donne par exemple $\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = ln 2$ et $\sum_{n \geq 0} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} = \frac{π}{4}$ .

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4. Fonctions développables en série entière

$f$ est DSE au voisinage de 0 s'il existe $r > 0$ et une série entière de rayon $\geq r$ dont la somme coïncide avec $f$ sur $] - r, r [$ . Alors $f$ est $C^{\infty}$ et la série est sa série de Taylor. La réciproque est fausse : $x \mapsto e^{- 1/ x^{2}}$ (prolongée par 0) est $C^{\infty}$ , a toutes ses dérivées nulles en 0, mais n'est pas DSE.

Développements usuels

Fonction	Développement	Rayon
$e^{x}$	$\sum \frac{x ^{n}}{n !}$	$+ \infty$
$cos x$ , $sin x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ , $\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$	$+ \infty$
$ch x$ , $sh x$	$\sum \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ , $\sum \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$	$+ \infty$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum x^{n}$	1
$ln (1 + x)$	$\sum_{n \geq 1} \frac{( - 1 ) ^{n - 1} x ^{n}}{n}$	1
$arctan x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{2 n + 1}$	1
$(1 + x)^{α}$ , $α \in / N$	$\sum \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$	1

Cas utile :

\frac{1}{1 - x} = \sum (n 2 n) \frac{x ^{n}}{4 ^{n}}

. En dérivant

\frac{1}{1 - x}

\sum n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}

Comment prouver qu'une fonction est DSE

Opérations sur les développements usuels : combinaisons linéaires, produits de Cauchy, dérivation, primitivation.
Fractions rationnelles : décomposer en éléments simples puis développer chaque $\frac{1}{( a - x ) ^{k}}$ .
Équation différentielle : montrer que $f$ est l'unique solution d'un problème de Cauchy et en exhiber une solution DSE.
Taylor-Lagrange : majorer le reste pour montrer qu'il tend vers 0 (méthode historique pour $e^{x}$ , $cos$ , $sin$ ).

📋

5. Équations différentielles et séries entières

Méthode :

1Chercher $y = \sum a_{n} x^{n}$ de rayon $R > 0$ (hypothèse d'analyse).
2Dériver terme à terme, injecter, réindexer pour regrouper les termes en $x^{n}$ .
3Par unicité des coefficients, obtenir une relation de récurrence sur $(a_{n})$ .
4Résoudre la récurrence et calculer le rayon.
5Synthèse : si $R > 0$ , la somme est solution sur $] - R, R [$ . Si l'équation est résolue en $y^{'}$ (ou $y^{''}$ ) avec coefficients continus, Cauchy-Lipschitz assure que c'est la solution du problème posé.

Exemple : $f (x) = \frac{a r c s i n x}{1 - x ^{2}}$ vérifie $(1 - x^{2}) f^{'} - x f = 1$ et $f (0) = 0$ . En injectant, on obtient $a_{1} = 1$ et $(n + 1) a_{n + 1} = n a_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ . Comme $a_{0} = 0$ , les coefficients pairs sont nuls et $a_{2 p + 1} = \frac{4 ^{p} ( p ! ) ^{2}}{( 2 p + 1 )!}$ , de rayon 1.

Pièges : oublier de vérifier $R > 0$ (si $R = 0$ , il n'y a pas de solution DSE non triviale) ; mal réindexer les sommes ; confondre condition d'existence (analyse) et vérification (synthèse) ; croire que les solutions DSE sont toutes les solutions : là où le coefficient dominant s'annule (point singulier, comme $x = 0$ pour $x y^{''} + y^{'} + x y = 0$ ), Cauchy-Lipschitz ne s'applique pas et d'autres solutions peuvent exister sur $] 0, + \infty [$ .

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6. À retenir pour les concours

Le rayon se calcule en premier ; le comportement au bord s'étudie à part.
Convergence normale sur les disques fermés de rayon $r < R$ : c'est elle qui justifie continuité, dérivation et intégration terme à terme.
Les DSE usuels doivent être connus avec leur rayon ; tout le reste s'en déduit par opérations ou par une équation différentielle.

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Séries entières

1. Rayon de convergence

Méthodes de calcul

2. Opérations

3. Régularité de la somme

4. Fonctions développables en série entière

Développements usuels

Comment prouver qu'une fonction est DSE

5. Équations différentielles et séries entières

6. À retenir pour les concours

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Derivation

Equivalents et developpements limites

Fonctions, limites et continuite

Integration

Limites, continuité, dérivabilité

Séries numériques et familles sommables

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