Limites, continuité, dérivabilité

Soit $f:D\to \mathbb{R}$ et $a$ adhérent à $D$ (réel ou infini). $f(x)\to \ell$ quand $x\to a$ signifie, pour $a$ et $\ell$ réels :

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in D,|x-a|\le \delta \Rightarrow |f(x)-\ell |\le \epsilon$.

Les définitions s'adaptent pour $a=\pm \infty$ ou $\ell =\pm \infty$. La limite est unique ; on dispose des opérations usuelles, du théorème d'encadrement, de la composition de limites et de la caractérisation séquentielle : $f(x)\to \ell$ si et seulement si $f(x_n)\to \ell$ pour toute suite $x_n\to a$.

Théorème de la limite monotone : une fonction croissante sur $]a,b[$ admet des limites en $a^{+}$ et $b^{-}$, finies si elle est bornée du côté concerné.

$f$ est continue en $a\in D$ si ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$. Somme, produit, quotient et composée de fonctions continues sont continues. Si $f$ est continue en $a$ avec $f(a)>0$, alors $f>0$ au voisinage de $a$.

Les trois théorèmes fondamentaux

> **Piège :** l'hypothèse « segment » est indispensable pour les bornes atteintes : $x\mapsto 1/x$ est continue sur $]0,1]$ et non bornée ; $x\mapsto x$ sur $]0,1[$ n'atteint pas ses bornes.

Continuité uniforme : le $\delta$ ne dépend pas du point. Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue. Une fonction $k$-lipschitzienne ($|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$) est uniformément continue.

Définition et premières propriétés

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite finie $f^{\prime }(a)$. De façon équivalente : $f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h)$ (développement limité d'ordre 1). Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse ($|x|$ en 0).

Formules : $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $(g\circ f{)}^{\prime }=(g^{\prime }\circ f)\cdot f^{\prime }$, et pour une bijection $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}$ si $f^{\prime }(f^{-1}(b))\ne 0$.

### Extremum, Rolle, accroissements finis

• Point critique : si $f$ dérivable admet un extremum local en un point intérieur $a$, alors $f^{\prime }(a)=0$.
• Rolle : $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, $f(a)=f(b)$ ⟹ il existe $c\in ]a,b[$ avec $f^{\prime }(c)=0$.
• Égalité des accroissements finis : mêmes hypothèses sans $f(a)=f(b)$ ⟹ $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$.
• Inégalité des accroissements finis : si $|f^{\prime }|\le M$ sur un intervalle $I$, alors $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$.

Conséquences sur un intervalle : $f^{\prime }\ge 0⟺f$ croissante ; $f^{\prime }=0⟺f$ constante ; $f^{\prime }>0$ sauf en des points isolés ⟹ strictement croissante.

Théorème de la limite de la dérivée

Si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus \{a\}$ et $f^{\prime }(x)\to \ell \in \mathbb{R}$ quand $x\to a$, alors $f$ est dérivable en $a$, $f^{\prime }(a)=\ell$ et $f^{\prime }$ est continue en $a$. C'est l'outil pour prouver qu'un prolongement est $C^1$.

Dérivées successives

$f$ est de classe $C^k$ si $f^{(k)}$ existe et est continue. Formule de Leibniz : $(fg{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$. Dérivées usuelles : $(e^{ax}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax}$, ${\sin }^{(n)}x=\sin (x+n\pi /2)$, ${\left(\frac{1}{x-a}\right)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-a{)}^{n+1}}$.

$f$ est convexe sur $I$ si $f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$ pour tous $x,y\in I$, $\lambda \in [0,1]$ : la courbe est sous ses cordes. Lemme des trois pentes : les pentes des cordes issues d'un point sont croissantes.

Caractérisations : $f$ dérivable est convexe $⟺f^{\prime }$ croissante $⟺$ courbe au-dessus de ses tangentes ; $f$ deux fois dérivable est convexe $⟺f^{\prime \prime }\ge 0$.

Inégalité de Jensen (cas fini) : pour ${\lambda }_i\ge 0$ de somme 1, $f(\sum {\lambda }_i{x}_i)\le \sum {\lambda }_{i}f(x_i)$.

• Inégalité $g\le h$ : étudier les variations de $h-g$, ou appliquer l'IAF, ou la convexité.
• Racines de $f^{\prime }$ : Rolle entre deux zéros de $f$ ; un polynôme à $p$ racines réelles distinctes a un polynôme dérivé à au moins $p-1$ racines réelles distinctes.
• Prolongement $C^1$ : prolonger par continuité, puis théorème de la limite de la dérivée ; en cas d'échec, taux d'accroissement.
• Suites récurrentes : IAF avec $|f^{\prime }|\le k<1$ pour obtenir $|u_n-\ell |\le k^n|u_0-\ell |$.
• Toujours vérifier les hypothèses : intervalle (pour monotonie et constance), segment (pour bornes atteintes), valeurs réelles (pour Rolle et AF). Les correcteurs sanctionnent les théorèmes cités sans leurs hypothèses.