Equivalents et developpements limites
Négligeabilité, équivalents et développements limités : les outils puissants du calcul de limites.
Introduction
Les développements limités (DL) sont un outil extrêmement puissant pour le calcul de limites, l'étude locale de fonctions et les approximations. C'est un chapitre récurrent et valorisé aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Négligeabilité — f = o(g) au voisinage de a si lim(x→a) f(x)/g(x) = 0. On dit « f est négligeable devant g ».
Définition : Équivalent — f ∼ g au voisinage de a si lim(x→a) f(x)/g(x) = 1. On dit « f est équivalent à g ».
Définition : DL d'ordre n en 0 — f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ + o(xⁿ).
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Formule de Taylor-Young
Si f est de classe Cⁿ au voisinage de 0, alors f(x) = Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(0)/k! · xᵏ + o(xⁿ).
A retenir
: Le DL est l'approximation polynomiale locale la plus précise à l'ordre n.
Propriétés des équivalents
- f ∼ g ⟺ f = g + o(g) ⟺ f − g = o(g)
- On peut multiplier et diviser des équivalents
- On NE peut PAS sommer des équivalents (piège classique !)
Unicité du DL
Si un DL existe, il est unique. Les coefficients sont aₖ = f⁽ᵏ⁾(0)/k!.
Formules clés
| Fonction | DL en 0 |
|---|---|
| eˣ | 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ) |
| ln(1+x) | x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n + o(xⁿ) |
| sin(x) | x − x³/3! + x⁵/5! − … |
| cos(x) | 1 − x²/2! + x⁴/4! − … |
| (1+x)ᵅ | 1 + αx + α(α−1)x²/2! + … |
| 1/(1−x) | 1 + x + x² + … + xⁿ + o(xⁿ) |
| 1/(1+x) | 1 − x + x² − x³ + … + (−1)ⁿxⁿ + o(xⁿ) |
| tan(x) | x + x³/3 + 2x⁵/15 + o(x⁶) |
| arctan(x) | x − x³/3 + x⁵/5 − … |
Méthodes types
Méthode : Calcul de limite par DL
- 1Identifier la forme indéterminée et le point
- 2Écrire les DL des fonctions à l'ordre suffisant
- 3Effectuer les opérations (somme, produit, composition, quotient)
- 4Simplifier et identifier la limite
Méthode : Trouver un équivalent
- 1Écrire le DL de f au voisinage du point considéré
- 2Identifier le premier terme non nul : c'est l'équivalent
- 3Utiliser cet équivalent pour le calcul de limite
Pièges classiques
- On ne peut PAS additionner des équivalents (ex : eˣ − 1 ≁ eˣ en 0, alors que eˣ ∼ 1 et 1 ∼ 1)
- Ne pas confondre DL en 0 et DL en un point a (translater : poser h = x − a)
- Bien déterminer l'ordre du DL nécessaire avant de calculer
- Ne pas oublier le reste o(xⁿ) dans l'écriture du DL
Pour aller plus loin
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