Fonctions, limites et continuite
Limites de fonctions, continuité, théorème des valeurs intermédiaires et bijections : les fondamentaux de l'analyse réelle.
Introduction
Ce chapitre constitue le cœur de l'analyse. La maîtrise des limites et de la continuité est indispensable pour tous les chapitres suivants (dérivation, intégration, séries). C'est un incontournable des concours.
Définitions essentielles
Définition : Limite finie en un point — lim(x→a) f(x) = L si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε.
Définition : Continuité — f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a). f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Définition : Continuité uniforme — Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tous x, y ∈ I, |x − y| < δ ⟹ |f(x) − f(y)| < ε.
Définition : Prolongement par continuité — Si lim(x→a) f(x) = L existe et est finie, on peut prolonger f en a en posant f(a) = L.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si f est continue sur [a, b], alors pour tout y compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = y.
A retenir
: f continue sur [a, b] avec f(a)·f(b) < 0 ⟹ il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = 0
Théorème de la bijection (TVI + stricte monotonie)
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I sur f(I).
Théorème des bornes atteintes
Si f est continue sur un segment [a, b], alors f est bornée et atteint ses bornes.
Composition et opérations
Les limites sont compatibles avec les opérations algébriques (somme, produit, quotient si dénominateur non nul) et la composition.
Formules clés
| Formule | Expression |
|---|---|
| Limites usuelles | lim(x→0) sin(x)/x = 1 |
| lim(x→+∞) ln(x)/x = 0 | |
| lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ | |
| lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0 | |
| Croissances comparées | eˣ ≫ xⁿ ≫ ln(x) en +∞ |
| Image d'un segment | f continue sur [a,b] ⟹ f([a,b]) = [min f, max f] |
Méthodes types
Méthode : Montrer qu'une équation f(x) = 0 admet une unique solution
- 1Vérifier que f est continue sur l'intervalle
- 2Calculer f(a) et f(b) de signes contraires → TVI donne l'existence
- 3Montrer que f est strictement monotone → unicité
Méthode : Lever une forme indéterminée
- 1Identifier la forme indéterminée (0/0, ∞/∞, ∞−∞, etc.)
- 2Factoriser par le terme dominant, ou utiliser les croissances comparées
- 3Appliquer le cas échéant un DL ou la règle de L'Hôpital
Pièges classiques
- Le TVI donne l'existence mais PAS l'unicité (il faut la monotonie stricte)
- Attention à la composition des limites : bien vérifier les hypothèses
- Ne pas confondre « continue » et « uniformément continue »
- lim(x→a) f(x) peut exister sans que f soit définie en a
Pour aller plus loin
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