Integration
Primitives, intégrale de Riemann, intégration par parties, changement de variable et applications.
Introduction
L'intégration est le pendant de la dérivation et un outil essentiel en probabilités (calcul de lois à densité, espérances). Ce chapitre est omniprésent aux concours, tant en exercice pur qu'en probabilités.
Définitions essentielles
Définition : Primitive — F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Deux primitives diffèrent d'une constante.
Définition : Intégrale de Riemann — Si f est continue sur [a, b], l'intégrale ∫ₐᵇ f(t) dt est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses.
Définition : Fonction intégrale — F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Théorème fondamental de l'analyse
Si f est continue sur I et a ∈ I, alors F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est l'unique primitive de f sur I vérifiant F(a) = 0.
A retenir
: (∫ₐˣ f(t) dt)' = f(x). C'est le lien fondamental entre intégration et dérivation.
Relation de Chasles
∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f
Inégalité de la moyenne
Si m ≤ f(x) ≤ M sur [a, b], alors m(b−a) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(b−a).
Formule de la moyenne
Si f est continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b] tel que ∫ₐᵇ f(t) dt = f(c)·(b − a).
Formules clés
| Primitive | Expression | ||
|---|---|---|---|
| ∫ xⁿ dx | xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) | ||
| ∫ 1/x dx | ln | x | + C |
| ∫ eˣ dx | eˣ + C | ||
| ∫ cos(x) dx | sin(x) + C | ||
| ∫ sin(x) dx | −cos(x) + C | ||
| ∫ 1/(1+x²) dx | arctan(x) + C | ||
| IPP | ∫ u'v = [uv] − ∫ uv' | ||
| Changement de variable | ∫ f(φ(t))·φ'(t) dt = ∫ f(u) du |
Méthodes types
Méthode : Intégration par parties (IPP)
- 1Identifier u et v' (u à dériver, v' à intégrer)
- 2Calculer u' et v
- 3Appliquer ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'
- 4Règle LATTE : Logarithme, Arctan, Trigo, polynôme (= ordre de choix pour u)
Méthode : Changement de variable
- 1Poser u = φ(t), calculer du = φ'(t) dt
- 2Changer les bornes si intégrale définie
- 3Substituer et calculer la nouvelle intégrale
Pièges classiques
- Ne pas oublier la constante d'intégration pour les primitives
- Attention au signe dans ∫ sin(x) dx = −cos(x) + C
- En IPP, bien choisir qui est u et qui est v' (un mauvais choix complique le calcul)
- Lors d'un changement de variable, ne pas oublier de changer les bornes
Pour aller plus loin
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