Derivation
Dérivées, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, extrema et études de fonctions.
Introduction
La dérivation est l'outil central de l'étude de fonctions. Elle intervient dans presque tous les exercices d'analyse aux concours, que ce soit pour des études de fonctions, des optimisations ou des résolutions d'équations différentielles.
Définitions essentielles
Définition : Dérivée en un point — f est dérivable en a si lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h existe et est finie. Cette limite est notée f'(a).
Définition : Fonction dérivable — f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. La fonction f' : x ↦ f'(x) est la fonction dérivée.
Définition : Classe Cᵏ — f est de classe Cᵏ si f est k fois dérivable et f⁽ᵏ⁾ est continue.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Théorème de Rolle
Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
Théorème des accroissements finis (TAF)
Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)·(b − a).
A retenir
: Le TAF est fondamental pour les encadrements et les inégalités.
Inégalité des accroissements finis
Si |f'(x)| ≤ M pour tout x ∈ ]a, b[, alors |f(b) − f(a)| ≤ M·|b − a|.
Formule de Leibniz
(fg)⁽ⁿ⁾ = Σₖ₌₀ⁿ C(n,k)·f⁽ᵏ⁾·g⁽ⁿ⁻ᵏ⁾
Formules clés
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| tan(x) | 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) |
| arctan(x) | 1/(1 + x²) |
| arcsin(x) | 1/√(1 − x²) |
| (f·g)' | f'·g + f·g' |
| (f/g)' | (f'·g − f·g')/g² |
| (f∘g)' | g'·(f'∘g) |
Méthodes types
Méthode : Étude complète d'une fonction
- 1Domaine de définition, parité, périodicité
- 2Calcul de f'(x), tableau de signes de f'
- 3Limites aux bornes du domaine
- 4Tableau de variations
- 5Points remarquables (extrema, points d'inflexion si f'' disponible)
Méthode : Optimisation sous contrainte
- 1Exprimer la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable
- 2Calculer la dérivée et trouver les points critiques (f'(x) = 0)
- 3Vérifier la nature du point critique (signe de f'')
Pièges classiques
- Dérivable ⟹ continue, mais la réciproque est fausse (ex : |x| en 0)
- Ne pas oublier les hypothèses du théorème de Rolle (f(a) = f(b))
- Attention à la dérivée de la composée : ne pas oublier la dérivée intérieure
- Le TAF donne l'existence de c mais ne donne PAS sa valeur
Pour aller plus loin
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