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Mathématiquesmpsi10 min de lectureLecture libre

Séries numériques et familles sommables

2e année MP · Tous les critères de convergence (comparaison, équivalents, d'Alembert, série-intégrale, Leibniz), la sommation des relations de comparaison, et les familles sommables avec Fubini.

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1. Généralités

La série $\sum u_{n}$ converge si la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$ converge ; on note $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ sa somme et $R_{n} = S - S_{n}$ son reste, qui tend vers 0. Condition nécessaire : si $\sum u_{n}$ converge, $u_{n} \to 0$ ; sinon la série diverge grossièrement. Cette condition n'est pas suffisante (série harmonique).

Lien suite-série : $(a_{n})$ converge $⟺ \sum (a_{n + 1} - a_{n})$ converge. C'est l'outil des télescopages et de l'étude des suites par les séries.

Série de référence	Nature
Géométrique $\sum q^{n}$	converge $⟺ ∣ q ∣ < 1$ , somme $\frac{1}{1 - q}$
Riemann $\sum \frac{1}{n ^{α}}$	converge $⟺ α > 1$
Bertrand $\sum \frac{1}{n ^{α} ( l n n ) ^{β}}$	converge $⟺ α > 1$ ou ( $α = 1$ et $β > 1$ ) — hors programme, à redémontrer
Exponentielle $\sum \frac{z ^{n}}{n !}$	converge absolument pour tout $z$ , somme $e^{z}$
Alternée $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α}}$	converge $⟺ α > 0$ , absolument $⟺ α > 1$

## 2. Séries à termes positifs

Si $u_{n} \geq 0$ , $(S_{n})$ est croissante : la série converge si et seulement si $(S_{n})$ est majorée. Tous les critères suivants supposent des termes positifs (au moins à partir d'un certain rang).

Comparaison : $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ ; $\sum v_{n}$ converge $\Rightarrow \sum u_{n}$ converge. Versions avec $u_{n} = O (v_{n})$ , $u_{n} = o (v_{n})$ .
Équivalents : si $u_{n} \sim v_{n}$ avec $v_{n} \geq 0$ , les séries sont de même nature.
d'Alembert : si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ$ , convergence pour $ℓ < 1$ , divergence grossière pour $ℓ > 1$ , cas douteux pour $ℓ = 1$ .
Comparaison série-intégrale : si $f$ est continue, positive, décroissante sur $[n_{0}, + \infty [$ , alors $\sum f (n)$ et $\int_{n_{0}}^{+ \infty} f$ sont de même nature, avec l'encadrement $\int_{n}^{n + 1} f \leq f (n) \leq \int_{n - 1}^{n} f$ .

Piège : la règle des équivalents est fausse sans signe constant. $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} \sim \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , mais la première série diverge et la seconde converge.

Méthode : pour un terme général $u_{n} = \frac{P ( n )}{Q ( n )}$ , $u_{n} = n^{a} e^{- bn}$ , $u_{n} = \frac{a ^{n}}{n !}$ ... faire un développement asymptotique jusqu'à obtenir un équivalent de signe constant, puis comparer à Riemann. Les factorielles et puissances appellent d'Alembert ; les logarithmes appellent la comparaison série-intégrale.

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3. Convergence absolue et séries alternées

$\sum u_{n}$ converge absolument si $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge. Toute série absolument convergente converge et $∣ \sum u_{n} ∣ \leq \sum ∣ u_{n} ∣$ . La réciproque est fausse : $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ est semi-convergente.

Critère spécial des séries alternées (Leibniz). Si $(a_{n})$ est décroissante de limite nulle, $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ converge, $∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1}$ et $R_{n}$ est du signe de $(- 1)^{n + 1}$ .

Méthode : pour $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α} + ( - 1 ) ^{n}}$ ou $\sum ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α}})$ , développer : $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{α}} - \frac{1}{n ^{2 α}} + o (\frac{1}{n ^{2 α}})$ . La partie alternée converge par Leibniz ; le reste est de signe constant et se traite par Riemann. Conclusion : convergence $⟺ 2 α > 1$ .

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4. Sommation des relations de comparaison

Soit $v_{n} \geq 0$ .

Cas convergent : si $\sum v_{n}$ converge et $u_{n} = o (v_{n})$ (resp. $O$ , $\sim$ ), alors $\sum u_{n}$ converge absolument et $R_{n} (u) = o (R_{n} (v))$ (resp. $O$ , $\sim$ ).
Cas divergent : si $\sum v_{n}$ diverge et $u_{n} = o (v_{n})$ (resp. $O$ , $\sim$ ), alors $S_{n} (u) = o (S_{n} (v))$ (resp. $O$ , $\sim$ ).

Applications : $H_{n} = \sum_{k \leq n} \frac{1}{k} = ln n + γ + o (1)$ ; $\sum_{k > n} \frac{1}{k ^{α}} \sim \frac{1}{( α - 1 ) n ^{α - 1}}$ ; $\sum_{k \leq n} ln k \sim n ln n$ ; et la formule de Stirling $n! \sim 2 π n (n / e)^{n}$ .

Produit de Cauchy : si $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent absolument, $\sum c_{n}$ avec $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ converge absolument et $\sum c_{n} = (\sum a_{n}) (\sum b_{n})$ . Cela démontre $e^{a} e^{b} = e^{a + b}$ .

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5. Familles sommables

Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $N$ : $Z$ , $N^{2}$ , $Q$ le sont ; $R$ ne l'est pas.

Famille de réels positifs $(u_{i})_{i \in I}$ : sommable si $sup_{J fini} \sum_{i \in J} u_{i} < + \infty$ . On note $\sum_{i \in I} u_{i} \in [0, + \infty]$ ce sup (toujours défini).
Famille complexe : sommable si $(∣ u_{i} ∣)$ l'est ; la somme est alors bien définie et indépendante de l'ordre de sommation. Pour $I = N$ , sommable $⟺$ absolument convergente.

Sommation par paquets. Si $I = ⨆_{k \in K} I_{k}$ et si la famille est sommable (ou à termes positifs), alors $\sum_{i \in I} u_{i} = \sum_{k \in K} \sum_{i \in I_{k}} u_{i}$ .

Fubini (séries doubles). Si $\sum_{m} \sum_{n} ∣ u_{m, n} ∣ < + \infty$ , alors $\sum_{m} \sum_{n} u_{m, n} = \sum_{n} \sum_{m} u_{m, n}$ . Pour des termes positifs, l'égalité est toujours vraie dans $[0, + \infty]$ : c'est le moyen de vérifier la sommabilité.

Piège : sans sommabilité, l'interversion échoue. Pour $u_{m, m} = 1$ , $u_{m, m + 1} = - 1$ , zéro ailleurs : $\sum_{m} \sum_{n} u_{m, n} = 0$ mais $\sum_{n} \sum_{m} u_{m, n} = 1$ .

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6. Méthodes de concours

1Nature d'une série : vérifier d'abord $u_{n} \to 0$ ; chercher un équivalent de signe constant ; sinon, séparer partie alternée et partie de signe constant par un DL.
2Calcul de sommes : télescopage, séries géométriques et dérivées ( $\sum n q^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}$ ), décomposition en éléments simples, séries entières connues ( $\sum \frac{1}{n 2 ^{n}} = ln 2$ ).
3Équivalents de sommes partielles ou de restes : comparaison série-intégrale ou sommation des relations de comparaison.
4Séries doubles : prouver la sommabilité avec les valeurs absolues (Fubini positif ou majoration par un produit $a_{m} b_{n}$ ), puis intervertir. La sommation par paquets sur les diagonales $m + n = p$ ramène à un produit de Cauchy.
5Suites définies par récurrence : étudier $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ ou $\sum ln \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ pour obtenir un équivalent de $u_{n}$ .

À retenir : positivité avant tout critère de comparaison ; décroissance vérifiée avant Leibniz ; valeurs absolues avant toute interversion.

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Séries numériques et familles sommables

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