Analyse BCPST : suites, DL, intégration et équations différentielles

En BCPST, l'analyse sert avant tout à modéliser : dynamique de populations (suites), cinétique et refroidissement (équations différentielles), calcul de grandeurs moyennes (intégrales). Les sujets Agro-Véto et G2E enchaînent souvent ces outils dans un même problème : une suite définie par une intégrale, une équation différentielle dont on étudie la limite, etc.

Arithmétiques et géométriques

• Arithmétique : $u_n=u_0+nr$ ; somme = nombre de termes $\times$ (premier + dernier) / 2.
• Géométrique : $u_n=u_0{q}^n$ ; ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$.
• $q^n\to 0$ si $|q|<1$, $q^n\to +\infty$ si $q>1$, pas de limite si $q\le -1$.

Arithmético-géométriques : $u_{n+1}=a{u}_n+b$, $a\ne 1$

Méthode en trois temps, à rédiger intégralement :

1. 1point fixe $\ell =\frac{b}{1-a}$ ;
2. 2$v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ ;
3. 3$u_n=\ell +a^n(u_0-\ell )$.

Exemple : $u_0=2$, $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$ donne $u_n=6-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 6$.

Récurrentes linéaires d'ordre 2

Pour $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$, on résout $r^2=ar+b$ : $\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ (racines distinctes), $(\lambda +\mu n)r^n$ (racine double), ${\rho }^n(\lambda \cos n\theta +\mu \sin n\theta )$ (racines complexes $\rho e^{\pm i\theta }$).

Suites $u_{n+1}=f(u_n)$

1. 1Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ contenant $u_0$.
2. 2Si $f$ est croissante sur $I$, la suite est monotone : comparer $u_0$ et $u_1$, puis récurrence.
3. 3Monotone et bornée : elle converge (théorème de la limite monotone).
4. 4$f$ continue : la limite vérifie $f(\ell )=\ell$.

Variante quantitative : si $|f^{\prime }|\le k<1$ sur $I$, l'inégalité des accroissements finis donne $|u_n-\ell |\le k^n|u_0-\ell |$, ce qui fournit aussi une vitesse de convergence.

Croissances comparées

$(\ln n{)}^{\alpha }\ll n^{\beta }\ll q^n\ll n!$ pour $\alpha ,\beta >0$, $q>1$. En $0^{+}$, $x^{\beta }\ln x\to 0$.