Analyse : suites, fonctions, intégrales et séries

L'analyse structure la majorité des problèmes de B/L : étude de fonction, suite récurrente, calcul d'intégrale, série servant à calculer une espérance. La difficulté tient moins aux théorèmes qu'à la rigueur de rédaction : hypothèses vérifiées, récurrences bien posées, équivalents manipulés correctement.

Suites de référence

• Arithmétique : $u_n=u_0+nr$ ; somme $=$ nombre de termes $\times$ moyenne des extrêmes.
• Géométrique : $u_n=u_0{q}^n$ ; ${\sum }_{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\ne 1$.
• Arithmético-géométrique $u_{n+1}=a{u}_n+b$ : on calcule le point fixe $\ell =\frac{b}{1-a}$, puis $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$.
• Récurrente linéaire d'ordre 2 $u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$ : équation caractéristique $r^2=ar+b$ ; deux racines distinctes donnent $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, une racine double $u_n=(\lambda +\mu n)r^n$.

Théorèmes de convergence

• Limite monotone : croissante et majorée implique convergente.
• Encadrement : si $u_n\le v_n\le w_n$ avec $u_n$ et $w_n$ de même limite $\ell$, alors $v_n\to \ell$.
• Suites adjacentes : une croissante, une décroissante, différence tendant vers 0 ; elles convergent vers la même limite, encadrée par les deux suites.

Suites $u_{n+1}=f(u_n)$

Plan attendu : intervalle stable $I$ (récurrence), monotonie (signe de $f(x)-x$), convergence par limite monotone, puis identification de la limite par $f(\ell )=\ell$ si $f$ est continue. Pour une vitesse de convergence, on utilise l'inégalité des accroissements finis : si $|f^{\prime }|\le k<1$ sur $I$, alors $|u_n-\ell |\le k^n|u_0-\ell |$. Cette majoration permet de déterminer un rang à partir duquel $u_n$ approche $\ell$ à une précision donnée.

Les croissances comparées règlent la plupart des formes indéterminées : en $+\infty$, $\ln x\ll x^b\ll e^{ax}$ (pour $a,b>0$), et pour les suites $q^n\ll n!$ si $q>1$. En 0, $x^b\ln x\to 0$.