Applications lineaires
Noyau, image, rang, théorème du rang et matrice d'une application linéaire.
Introduction
Les applications linéaires sont les « bonnes » applications entre espaces vectoriels. Le théorème du rang est l'un des résultats les plus importants et les plus utilisés de l'algèbre linéaire aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Application linéaire — f : E → F est linéaire si f(λu + μv) = λf(u) + μf(v) pour tous u, v ∈ E et λ, μ ∈ ℝ.
Définition : Endomorphisme — Application linéaire de E dans E.
Définition : Noyau — Ker(f) = {u ∈ E : f(u) = 0}. C'est un sev de E.
Définition : Image — Im(f) = {f(u) : u ∈ E}. C'est un sev de F.
Définition : Rang — rg(f) = dim(Im(f)).
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Théorème du rang
dim(E) = dim(Ker f) + rg(f) = dim(Ker f) + dim(Im f).
A retenir
: C'est LE théorème fondamental. Il relie la dimension de l'espace de départ au noyau et à l'image.
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