Convexite
Fonctions convexes, inégalité de Jensen, caractérisations et applications.
Introduction
La convexité est un outil puissant pour établir des inégalités et étudier le comportement global des fonctions. Ce chapitre relativement court est souvent combiné avec d'autres thèmes (suites, intégrales, probabilités) aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Fonction convexe — f : I → ℝ est convexe si pour tous x, y ∈ I et tout λ ∈ [0, 1] : f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y).
Définition : Fonction concave — f est concave si −f est convexe, i.e. f(λx + (1−λ)y) ≥ λf(x) + (1−λ)f(y).
Définition : Point d'inflexion — Point où la convexité change (f passe de convexe à concave ou inversement).
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Caractérisations de la convexité (pour f de classe C²)
f est convexe sur I ⟺ f'' ≥ 0 sur I ⟺ f' est croissante sur I ⟺ la courbe est au-dessus de ses tangentes.
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