Espaces vectoriels et applications linéaires

$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Ce chapitre fonde toute l'algèbre linéaire : il faut maîtriser le vocabulaire (libre, génératrice, base, dimension) et les grands théorèmes (base incomplète, rang, Grassmann), puis savoir les mobiliser dans des raisonnements courts.

Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un ensemble muni d'une addition (groupe commutatif) et d'une multiplication externe par les scalaires, compatibles. Exemples fondamentaux : ${\mathbb{K}}^n$, $\mathbb{K}[X]$, ${\mathbb{K}}_n[X]$, ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$, l'ensemble des suites ${\mathbb{K}}^{\mathbb{N}}$, $\mathcal{L}(E,F)$.

Une intersection de sev est un sev ; une union ne l'est pas en général (deux droites distinctes du plan). Le sous-espace engendré $\mathrm{Vect}(A)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $A$ : c'est le plus petit sev contenant $A$.

Somme et somme directe

$F+G=\{f+g,f\in F,g\in G\}$ est un sev. La somme est directe ($F\oplus G$) si la décomposition $f+g$ est unique, ce qui équivaut à $F\cap G=\{0\}$. $F$ et $G$ sont supplémentaires si $E=F\oplus G$.

Faits utiles : une famille contenant $0$ est liée ; une sous-famille d'une famille libre est libre ; une sur-famille d'une famille génératrice est génératrice ; une famille de polynômes non nuls de **degrés deux à deux distincts** est libre.