Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Dans tout ce chapitre, $E$ désigne un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $u\in \mathcal{L}(E)$. Réduire $u$, c'est trouver une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale si possible, triangulaire sinon.

Un sous-espace $F$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On dispose alors de l'endomorphisme induit $u_F$, et dans une base adaptée la matrice de $u$ est triangulaire par blocs. Résultat clé : si $u$ et $v$ commutent, $\ker v$ et $\mathrm{Im}v$ sont stables par $u$ ; en particulier les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$.

Pour $P=\sum a_k{X}^k$, on pose $P(u)=\sum a_k{u}^k$. L'application $P\mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres : $(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u)$, et les $P(u)$ commutent entre eux. Un polynôme annulateur est un $P$ tel que $P(u)=0$. L'ensemble des polynômes annulateurs est un idéal non nul de $\mathbb{K}[X]$ (en dimension finie, la famille $(\mathrm{id},u,\dots ,u^{n^2})$ est liée) ; son générateur unitaire est le polynôme minimal ${\pi }_u$.

Propriétés fondamentales :

• des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre ; les sous-espaces propres sont en somme directe ;
• ${\chi }_u=X^n-(\mathrm{tr}u)X^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det u$ ; deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique (réciproque fausse) ;
• les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de ${\pi }_u$, et sont parmi les racines de tout polynôme annulateur ;
• Cayley-Hamilton : ${\chi }_u(u)=0$, donc ${\pi }_u\mid {\chi }_u$.