Matrices et déterminants

Les matrices sont le langage concret de l'algèbre linéaire en dimension finie : toute application linéaire entre espaces munis de bases devient un tableau de nombres, et les opérations sur les applications deviennent des opérations matricielles. Le déterminant fournit ensuite un critère numérique d'inversibilité et un outil de calcul puissant.

Produit

Pour $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$, $(AB{)}_{i,j}={\sum }_{k=1}^p{a}_{i,k}{b}_{k,j}$. Le produit est associatif, bilinéaire, mais :

La transposition vérifie $(AB{)}^T=B^T{A}^T$. Les matrices élémentaires $E_{i,j}$ forment la base canonique ($\dim {\mathcal{M}}_{n,p}=np$) et $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$.

Matrices inversibles

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe $B$ avec $AB=BA=I_n$. Pour une matrice carrée, un inverse à droite ($AB=I_n$) suffit. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, et $G{L}_n(\mathbb{K})$ est un groupe.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si sa diagonale ne contient aucun zéro.

Rang

Le rang de $A$ est le rang de ses colonnes, égal au rang de ses lignes ($\mathrm{rg}A=\mathrm{rg}{A}^T$) et à celui de l'application linéaire canoniquement associée. Il est invariant par opérations élémentaires et par multiplication par une matrice inversible. Toute matrice de rang $r$ est équivalente à $J_r$ : $A=P{J}_{r}Q$ avec $P,Q$ inversibles ; deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Critères d'inversibilité ($A$ carrée de taille $n$) : $\det A\ne 0⟺\mathrm{rg}A=n⟺\ker A=\{0\}⟺$ les colonnes forment une base $⟺AX=Y$ a une solution unique pour tout $Y$.