Espaces vectoriels et dimension finie
Sous-espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases, dimension et formule de Grassmann.
Introduction
Les espaces vectoriels sont la structure fondamentale de l'algèbre linéaire. La notion de dimension, de base et de sous-espace vectoriel est essentielle pour comprendre les applications linéaires et la réduction.
Définitions essentielles
Définition : Espace vectoriel — Ensemble E muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant les axiomes habituels.
Définition : Sous-espace vectoriel (sev) — Partie F de E non vide, stable par combinaison linéaire : ∀u, v ∈ F, ∀λ, μ ∈ ℝ, λu + μv ∈ F.
Définition : Famille libre — (v₁, …, vₚ) est libre si Σ λᵢvᵢ = 0 ⟹ tous les λᵢ = 0.
Définition : Famille génératrice — (v₁, …, vₚ) est génératrice de E si tout vecteur de E est combinaison linéaire des vᵢ.
Définition : Base — Famille à la fois libre et génératrice. dim(E) = nombre d'éléments d'une base.
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