Integrales impropres
Convergence des intégrales impropres, critères de comparaison et intégrales de Riemann.
Introduction
Les intégrales impropres (ou généralisées) étendent la notion d'intégrale aux intervalles non bornés ou aux fonctions non bornées. Elles sont indispensables en probabilités (lois à densité) et fréquentes aux concours.
Définitions essentielles
Définition : Intégrale impropre en +∞ — ∫ₐ⁺∞ f(t) dt = lim(b→+∞) ∫ₐᵇ f(t) dt si cette limite existe et est finie.
Définition : Intégrale impropre en un point — Si f n'est pas bornée au voisinage de a⁺ : ∫ₐᵇ f(t) dt = lim(ε→0⁺) ∫ₐ₊ε ᵇ f(t) dt.
Définition : Convergence absolue — ∫ f converge absolument si ∫ |f| converge.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Intégrales de Riemann
∫₁⁺∞ 1/tᵅ dt converge si et seulement si α > 1.
∫₀¹ 1/tᵅ dt converge si et seulement si α < 1.
A retenir
: Les intégrales de Riemann sont les références de base pour la comparaison, comme les séries de Riemann.
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