Intégration sur un intervalle et intégrales à paramètre

Soit $f$ continue par morceaux sur un intervalle $I$. L'intégrale ${\int }_a^{b}f$ sur $[a,b[$ converge si ${\int }_a^{x}f$ a une limite finie quand $x\to b$. La fonction $f$ est intégrable sur $I$ si ${\int }_I|f|$ converge ; l'intégrabilité implique la convergence, mais la réciproque est fausse : ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt$ converge (et vaut $\frac{\pi }{2}$) sans que $\frac{\sin t}{t}$ soit intégrable.

Références

### Outils

• Comparaison : si $|f|\le g$, ou $f=O(g)$ au voisinage de la borne, avec $g$ intégrable, alors $f$ est intégrable. Si $f\sim g$, elles sont simultanément intégrables.
• Faux problème : une fonction continue sur $]a,b]$ ayant une limite finie en $a$ est intégrable.
• Intégration par parties : licite si le crochet $[fg{]}_a^b$ a des limites finies ; les deux intégrales sont alors de même nature.
• Changement de variable par une bijection $C^1$ strictement monotone : conserve la nature et la valeur.

Convergence dominée

Soit $(f_n)$ continues par morceaux sur $I$, convergeant simplement vers $f$ continue par morceaux. S'il existe $\phi$ intégrable, indépendante de $n$, telle que $|f_n|\le \phi$ pour tout $n$, alors

${\int }_I{f}_n⟶{\int }_{I}f$.

La version à paramètre continu ($\lambda \to {\lambda }_0$) se déduit par caractérisation séquentielle, avec une domination valable sur un voisinage de ${\lambda }_0$.

Contre-exemples sans domination : $n{1}_{]0,1/n]}$ (masse qui se concentre) et $1_{[n,n+1]}$ (masse qui fuit à l'infini) tendent simplement vers 0 avec une intégrale constante égale à 1.