Produit scalaire et orthogonalite
Produit scalaire, norme, Cauchy-Schwarz, procédé de Gram-Schmidt et projection orthogonale.
Introduction
Le produit scalaire enrichit les espaces vectoriels d'une notion de géométrie (angle, distance, orthogonalité). Ce chapitre de deuxième année est essentiel pour les projections orthogonales, les moindres carrés et les matrices orthogonales.
Définitions essentielles
Définition : Produit scalaire — Forme bilinéaire symétrique définie positive sur E. On note ⟨u, v⟩ ou u · v.
Définition : Norme — ‖u‖ = √⟨u, u⟩. Vérifie ‖u‖ ≥ 0, ‖u‖ = 0 ⟺ u = 0, ‖λu‖ = |λ|·‖u‖.
Définition : Orthogonalité — u ⊥ v si ⟨u, v⟩ = 0.
Définition : Base orthonormée (BON) — Base (e₁, …, eₙ) avec ⟨eᵢ, eⱼ⟩ = δᵢⱼ (1 si i = j, 0 sinon).
Définition : Orthogonal d'un sev — F⊥ = {u ∈ E : ∀v ∈ F, ⟨u, v⟩ = 0}.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Inégalité de Cauchy-Schwarz
|⟨u, v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖, avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.
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