Reduction des endomorphismes
Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, polynôme caractéristique et théorème de Cayley-Hamilton.
Introduction
La réduction (diagonalisation, trigonalisation) est un chapitre majeur de deuxième année. Il permet de simplifier les calculs de puissances de matrices, les suites récurrentes linéaires et les systèmes différentiels. C'est un sujet phare des concours.
Définitions essentielles
Définition : Valeur propre — λ ∈ ℝ (ou ℂ) est valeur propre de f si ∃v ≠ 0 tel que f(v) = λv.
Définition : Vecteur propre — Vecteur non nul v tel que f(v) = λv. L'ensemble des vecteurs propres associés à λ (plus 0) est le sous-espace propre Eλ.
Définition : Polynôme caractéristique — χ_A(X) = det(A − XIₙ). Ses racines sont les valeurs propres.
Définition : Matrice diagonalisable — A est diagonalisable s'il existe P inversible telle que P⁻¹AP = D diagonale.
Théorèmes et propriétés fondamentaux
Critère de diagonalisabilité
A ∈ Mₙ(ℝ) est diagonalisable ⟺ la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n ⟺ il existe une base de vecteurs propres.
Lis la suite gratuitement en créant un compte
Cette fiche de Mathématiques continue dans l'application. Le compte Prepal est gratuit et donne accès à la fiche complète.
- La fiche complète, avec tous les chapitres
- Les flashcards du chapitre, à répétition espacée
- Le quiz pour vérifier que c'est acquis
Gratuit, sans carte bancaire.